QUESTÃO 02 : Considere a função f\) definida por \[f(x)= \begin{cases}\frac{\sqrt{5 x^{5}+x^{2} \operatorname{sec} x}}{x}, & \text { se } x<0 \\\ \frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x}, & \text { se } x>0 \\\\ -1, & \text { se } x=0\end{cases}
i) Avalie \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)\] e \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x).
ii) f é contínua em x=0 ? Justifique. Existe a reta tangente ao gráfico de f em x=0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases}\dfrac{\sqrt{5 x^{5}+x^{2} \operatorname{sec} x}}{x}, & \text{se } x<0,\\[6pt] \dfrac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}, & \text{se } x>0,\\[6pt] -1, & \text{se } x=0, \end{cases}
e pede duas coisas:
  1. Avaliar \lim_{x\to 0^{+}} f(x) e \lim_{x\to 0^{-}} f(x).
  2. Dizer se f é contínua em x=0 e se existe reta tangente ao gráfico de f em x=0, com justificativas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f é diferente para x<0, x>0 e x=0.
  • Em x=0 o valor de f é -1.
  • Precisaremos avaliar limites laterais (direita e esquerda) em 0 para responder continuidade e existência da tangente.]

Passo 2

Vamos tratar primeiro o limite pela esquerda, \lim_{x\to 0^-} f(x). Para x<0 temos
f(x)=\frac{\sqrt{5x^{5}+x^{2}\operatorname{sec} x}}{x}.
Observe que podemos colocar em evidência x^{2} dentro da raiz:
5x^{5}+x^{2}\operatorname{sec} x = x^{2}\bigl(5x^{3}+\operatorname{sec} x\bigr).
Então
\sqrt{5x^{5}+x^{2}\operatorname{sec} x}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{5x^{3}+\operatorname{sec} x}=|x|\sqrt{5x^{3}+\operatorname{sec} x}.
Explico: \sqrt{x^{2}}=|x| porque a raiz quadrada devolve um número não negativo. Isso é uma identidade que usamos sempre que aparece \sqrt{x^{2}}.

Passo 3

Como estamos tomando x\to 0^{-}, ou seja x<0 próximo de zero, tem-se |x|=-x. Portanto, para x<0
f(x)=\frac{|x|\sqrt{5x^{3}+\operatorname{sec} x}}{x}=\frac{-x\sqrt{5x^{3}+\operatorname{sec} x}}{x}=-\sqrt{5x^{3}+\operatorname{sec} x}.
Agora avaliamos o limite quando x\to 0^{-}. Note que 5x^{3}\to 0 e \operatorname{sec} x\to \operatorname{sec} 0 = 1. Como a raiz quadrada é contínua onde definida, obtemos
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)= -\sqrt{0+1} = -1.
Portanto a limite pela esquerda é -1.

Passo 4

Agora o limite pela direita, \lim_{x\to 0^{+}} f(x). Para x>0
f(x)=\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}.
Quando vemos diferença de duas raízes, um truque muito útil é multiplicar por uma conjugada para simplificar. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}. Assim:
f(x)=\frac{\bigl(\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}\bigr)\bigl(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\bigr)}{x\bigl(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\bigr)}.

Passo 5

O produto no numerador simplifica usando (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Então
\sqrt{1+\sin x}^{\,2}-\sqrt{1-\sin x}^{\,2}=(1+\sin x)-(1-\sin x)=2\sin x.
Logo obtemos a forma
f(x)=\frac{2\sin x}{x\bigl(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\bigr)}.
Esse passo é padrão: transformamos a diferença de raízes numa expressão com \sin x no numerador, que é mais fácil de analisar quando x\to 0.

Passo 6

Para avaliar o limite de f(x) quando x\to 0^{+} usamos duas propriedades clássicas e fáceis:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
  • As funções \sqrt{1+\sin x} e \sqrt{1-\sin x} são contínuas em 0, logo seus valores tendem a \sqrt{1}=1 quando x\to 0.
Assim, denotando S(x)=\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}, temos S(x)\to 1+1=2 quando x\to 0. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{2\sin x}{x\,S(x)} = 2\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\lim_{x\to 0}S(x)} = 2\cdot 1\cdot\frac{1}{2}=1.
Portanto a limite pela direita é 1.

Passo 7

Resumo dos limites laterais já encontrados:
\lim_{x\to 0^{-}} f(x) = -1,\qquad \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = 1.
Agora respondemos sobre continuidade em x=0. Lembrete do conceito: uma função f é contínua em x=0 se e somente se \lim_{x\to 0} f(x) existe (os limites laterais são iguais) e esse limite é igual a f(0).
Aqui os limites laterais não são iguais ( -1 e 1 são diferentes), portanto o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Assim f não é contínua em x=0. Observação: o valor dado f(0)=-1 coincide com o limite pela esquerda, mas isso não salva a continuidade porque a direita dá outro valor.

Passo 8

Agora verificamos existência de reta tangente em x=0. A reta tangente existe (no sentido clássico de derivada finita) se f for diferenciável em 0; isto significa que o limite
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}
existe e é finito. Em geral é suficiente verificar as derivadas laterais: precisam existir e ser iguais.

Passo 9

Calculamos a derivada lateral pela esquerda. Para h<0 já vimos que
f(h)=-\sqrt{5h^{3}+\operatorname{sec} h}.
Portanto a diferença quociente é, para h<0,
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{-\sqrt{5h^{3}+\operatorname{sec} h}-(-1)}{h}=\frac{1-\sqrt{5h^{3}+\operatorname{sec} h}}{h}.
Para estudar esse limite usamos a conjugada novamente: com A(h)=5h^{3}+\operatorname{sec} h,
\frac{1-\sqrt{A(h)}}{h}=\frac{1-A(h)}{h\bigl(1+\sqrt{A(h)}\bigr)}.
Agora 1-A(h)=1-\operatorname{sec} h-5h^{3}. Sabemos que \operatorname{sec} h-1=O(h^{2}) quando h\to 0, ou seja \operatorname{sec} h-1 é da ordem de h^{2}. Assim 1-A(h)= -(\operatorname{sec} h-1)-5h^{3}=O(h^{2}). Portanto o numerador 1-A(h) é O(h^{2}) enquanto o denominador tem um fator h, logo a razão é O(h) e tende a 0 quando h\to 0^{-}. Concluímos que a derivada lateral pela esquerda é
\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(h)-f(0)}{h}=0.

Passo 10

Agora a derivada lateral pela direita. Para h>0 temos (pela manipulação feita anteriormente)
f(h)=\frac{2\sin h}{h\bigl(\sqrt{1+\sin h}+\sqrt{1-\sin h}\bigr)}.
Queremos estudar
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{f(h)+1}{h}.
Note que \lim_{h\to 0^{+}} f(h)=1, logo para h pequeno e positivo f(h) fica próximo de 1. Assim existe \delta>0 tal que, para 0<h<\delta, temos f(h)>\tfrac12 (por exemplo). Então para esses h
\frac{f(h)+1}{h}>\frac{\tfrac12+1}{h}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{h}.
Como \dfrac{1}{h}\to +\infty quando h\to 0^{+}, a desigualdade mostra que \dfrac{f(h)+1}{h}\to +\infty. Portanto a derivada lateral pela direita diverge para +\infty (não é finita). Em particular a derivada lateral direita não existe como número real.

Passo 11

Conclusão sobre a tangente: as derivadas laterais em 0 são diferentes (à esquerda valem 0, à direita divergem para +\infty). Como não existe um único limite finito do quociente incremental, f não é diferenciável em 0 e, no sentido usual (reta com coeficiente angular finito), não existe reta tangente ao gráfico de f em x=0. (Pode-se dizer também que a tendência à vertical pela direita impede uma reta tangente com inclinação finita.)

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1,\quad \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=-1
f não é contínua em x=0. Não existe reta tangente ao gráfico de f em x=0. (Derivada à esquerda =0, à direita diverge para +\infty.)

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