Agora avaliamos o limite quando x\to 0^{-}. Note que 5x^{3}\to 0 e \operatorname{sec} x\to \operatorname{sec} 0 = 1. Como a raiz quadrada é contínua onde definida, obtemos
\lim_{x\to 0^{-}} f(x)= -\sqrt{0+1} = -1.
Portanto a limite pela esquerda é -1.
Passo 4
Agora o limite pela direita, \lim_{x\to 0^{+}} f(x). Para x>0
f(x)=\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}.
Quando vemos diferença de duas raízes, um truque muito útil é multiplicar por uma conjugada para simplificar. Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}. Assim:
Agora respondemos sobre continuidade em x=0. Lembrete do conceito: uma função f é contínua em x=0 se e somente se \lim_{x\to 0} f(x) existe (os limites laterais são iguais) e esse limite é igual a f(0).
Aqui os limites laterais não são iguais (-1 e 1 são diferentes), portanto o limite \lim_{x\to 0} f(x) não existe. Assim f não é contínua em x=0. Observação: o valor dado f(0)=-1 coincide com o limite pela esquerda, mas isso não salva a continuidade porque a direita dá outro valor.
Passo 8
Agora verificamos existência de reta tangente em x=0. A reta tangente existe (no sentido clássico de derivada finita) se f for diferenciável em 0; isto significa que o limite
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}
existe e é finito. Em geral é suficiente verificar as derivadas laterais: precisam existir e ser iguais.
Passo 9
Calculamos a derivada lateral pela esquerda. Para h<0 já vimos que
Agora 1-A(h)=1-\operatorname{sec} h-5h^{3}. Sabemos que \operatorname{sec} h-1=O(h^{2}) quando h\to 0, ou seja \operatorname{sec} h-1 é da ordem de h^{2}. Assim 1-A(h)= -(\operatorname{sec} h-1)-5h^{3}=O(h^{2}). Portanto o numerador 1-A(h) é O(h^{2}) enquanto o denominador tem um fator h, logo a razão é O(h) e tende a 0 quando h\to 0^{-}. Concluímos que a derivada lateral pela esquerda é
\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(h)-f(0)}{h}=0.
Passo 10
Agora a derivada lateral pela direita. Para h>0 temos (pela manipulação feita anteriormente)
Note que \lim_{h\to 0^{+}} f(h)=1, logo para h pequeno e positivo f(h) fica próximo de 1. Assim existe \delta>0 tal que, para 0<h<\delta, temos f(h)>\tfrac12 (por exemplo). Então para esses h
Como \dfrac{1}{h}\to +\infty quando h\to 0^{+}, a desigualdade mostra que \dfrac{f(h)+1}{h}\to +\infty. Portanto a derivada lateral pela direita diverge para +\infty (não é finita). Em particular a derivada lateral direita não existe como número real.
Passo 11
Conclusão sobre a tangente: as derivadas laterais em 0 são diferentes (à esquerda valem 0, à direita divergem para +\infty). Como não existe um único limite finito do quociente incremental, f não é diferenciável em 0 e, no sentido usual (reta com coeficiente angular finito), não existe reta tangente ao gráfico de f em x=0. (Pode-se dizer também que a tendência à vertical pela direita impede uma reta tangente com inclinação finita.)