QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{4}+2 x^{3}-x^{2}+1}{x^{6}-x+7}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{4}+2x^{3}-x^{2}+1}{x^{6}-x+7}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • O numerador é o polinômio x^{4}+2x^{3}-x^{2}+1 (grau 4, termo dominante x^{4} com coeficiente 1).
  • O denominador é o polinômio x^{6}-x+7 (grau 6, termo dominante x^{6} com coeficiente 1).
  • A variável x tende a -\infty (ou seja, valores muito grandes em módulo e negativos).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico do limite.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática): para uma razão de polinômios do tipo \dfrac{P(x)}{Q(x)}, o comportamento do limite quando x\to\pm\infty é determinado pelos graus de P e Q.
  • Se \deg(P) < \deg(Q) então o limite é 0.
  • Se \deg(P) = \deg(Q) então o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
  • Se \deg(P) > \deg(Q) então o valor absoluto da razão tende a \infty (sinal depende dos coeficientes e do sinal de x).
    Por que isso acontece? Uma maneira direta de ver é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (a do denominador, se ela for a maior). Vamos aplicar isso aqui.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^{6} (a maior potência presente), escrevendo a expressão de forma equivalente:
\frac{x^{4}+2x^{3}-x^{2}+1}{x^{6}-x+7} = \frac{\dfrac{x^{4}}{x^{6}}+\dfrac{2x^{3}}{x^{6}}-\dfrac{x^{2}}{x^{6}}+\dfrac{1}{x^{6}}}{\dfrac{x^{6}}{x^{6}}-\dfrac{x}{x^{6}}+\dfrac{7}{x^{6}}}.

Passo 4

Simplificamos cada termo de potências:
\dfrac{x^{4}}{x^{6}}=\dfrac{1}{x^{2}},\quad \dfrac{2x^{3}}{x^{6}}=\dfrac{2}{x^{3}},\quad \dfrac{x^{2}}{x^{6}}=\dfrac{1}{x^{4}},\quad \dfrac{1}{x^{6}}=\dfrac{1}{x^{6}},
\dfrac{x^{6}}{x^{6}}=1,\quad \dfrac{x}{x^{6}}=\dfrac{1}{x^{5}},\quad \dfrac{7}{x^{6}}=\dfrac{7}{x^{6}}.
Substituindo na fração:
\frac{x^{4}+2x^{3}-x^{2}+1}{x^{6}-x+7} = \frac{\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{3}}-\dfrac{1}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{6}}}{1-\dfrac{1}{x^{5}}+\dfrac{7}{x^{6}}}.

Passo 5

Analisamos o comportamento de cada termo quando x\to -\infty.
  • Para qualquer inteiro positivo k, \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to -\infty porque o denominador cresce em módulo sem limite, fazendo a fração tender a zero. O sinal pode oscilar para potências ímpares, mas o módulo vai para zero.
    Logo:
\dfrac{1}{x^{2}}\to 0,\quad \dfrac{2}{x^{3}}\to 0,\quad \dfrac{1}{x^{4}}\to 0,\quad \dfrac{1}{x^{6}}\to 0,\quad \dfrac{1}{x^{5}}\to 0,\quad \dfrac{7}{x^{6}}\to 0.
Portanto, no limite a expressão do passo anterior fica
\frac{0+0-0+0}{1-0+0}=\frac{0}{1}=0.

Passo 6

Interpretação final e checagem com o princípio geral: como \deg(\text{numerador})=4 e \deg(\text{denominador})=6 e 4<6, pelo princípio mencionado no Passo 2 o limite deve ser 0. A conta do Passo 5 confirma isso.

Resposta

0

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