QUESTÃO 01 : Avalie os limites abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o seguinte limite quando
tende a
:
Informações fornecidas e observações imediatas:
- O numerador é o polinômio
(grau , termo dominante com coeficiente ). - O denominador é o polinômio
(grau , termo dominante com coeficiente ). - A variável
tende a (ou seja, valores muito grandes em módulo e negativos). - A tarefa é encontrar o valor numérico do limite.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática): para uma razão de polinômios do tipo
, o comportamento do limite quando
é determinado pelos graus de
e
.
- Se
então o limite é . - Se
então o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. - Se
então o valor absoluto da razão tende a (sinal depende dos coeficientes e do sinal de ).
Por que isso acontece? Uma maneira direta de ver é dividir numerador e denominador pela maior potência deque aparece (a do denominador, se ela for a maior). Vamos aplicar isso aqui.
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
(a maior potência presente), escrevendo a expressão de forma equivalente:
Passo 4
Simplificamos cada termo de potências:
Substituindo na fração:
Passo 5
Analisamos o comportamento de cada termo quando
.
- Para qualquer inteiro positivo
, quando porque o denominador cresce em módulo sem limite, fazendo a fração tender a zero. O sinal pode oscilar para potências ímpares, mas o módulo vai para zero.
Logo:
Portanto, no limite a expressão do passo anterior fica
Passo 6
Interpretação final e checagem com o princípio geral: como
e
e
, pelo princípio mencionado no Passo 2 o limite deve ser
. A conta do Passo 5 confirma isso.