QUESTÃO 01 : Avalie os limites.
(ii) \lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{x^{3}-2 x^{2}-9 x+8}-2}{x^{4}+x-4 x^{3}-4}.

Passo 1

O enunciado pede que se avalie o limite
\lim_{x\rightarrow 4}\frac{\sqrt{x^{3}-2x^{2}-9x+8}-2}{x^{4}+x-4x^{3}-4}.
Informações dadas importantes:
  • A expressão no numerador é \sqrt{x^{3}-2x^{2}-9x+8}-2.
  • A expressão no denominador é x^{4}+x-4x^{3}-4.
  • O objetivo é encontrar o valor do limite quando x tende a 4.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada fazendo substituição direta em x=4.
Calcular g(x)=x^{3}-2x^{2}-9x+8 em x=4:
g(4)=4^{3}-2\cdot4^{2}-9\cdot4+8=64-32-36+8=4,
logo \sqrt{g(4)}=2 e o numerador vira 2-2=0.
Calcular o denominador em x=4:
4^{4}+4-4\cdot4^{3}-4=256+4-256-4=0.
Portanto a forma é 0/0, ou seja, indeterminada. Precisamos simplificar a expressão antes de aplicar a substituição.

Passo 3

Escolher uma estratégia: aqui a forma 0/0 sugere tentar simplificação algébrica. Uma técnica útil quando aparece \sqrt{\cdot}-\text{constante} é racionalizar o numerador usando o conjugado. Isso evita derivadas e é mais direto em provas sem calculadora.
Escrever o numerador usando o conjugado:
\sqrt{g(x)}-2=\frac{\big(\sqrt{g(x)}-2\big)\big(\sqrt{g(x)}+2\big)}{\sqrt{g(x)}+2} =\frac{g(x)-4}{\sqrt{g(x)}+2}.
Assim a fração original pode ser reescrita como
\frac{\sqrt{g(x)}-2}{x^{4}-4x^{3}+x-4} = \frac{g(x)-4}{\big(\sqrt{g(x)}+2\big)\big(x^{4}-4x^{3}+x-4\big)}.

Passo 4

Calcular g(x)-4 explicitamente e fatorá-lo (aqui vou mostrar divisão sintética para ver o fator x-4).
Temos
g(x)-4=x^{3}-2x^{2}-9x+8-4=x^{3}-2x^{2}-9x+4.
Como g(4)=4, x-4 é fator de g(x)-4. Fazer divisão de x^{3}-2x^{2}-9x+4 por x-4 (divisão sintética com 4):
Coeficientes: 1,\\\ -2,\\\ -9,\\\ 4.
  • Baixa 1.
  • Multiplica 1 por 4 4. Soma com -2 2.
  • Multiplica 2 por 4 8. Soma com -9 -1.
  • Multiplica -1 por 4 -4. Soma com 4 0.
Quociente é x^{2}+2x-1 e resto 0. Logo
g(x)-4=(x-4)\big(x^{2}+2x-1\big).

Passo 5

Fatorar o denominador x^{4}-4x^{3}+x-4. Como já vimos que a substituição x=4 anula esse polinômio, x-4 é fator. Fazer divisão sintética por x-4 (coeficientes 1,\,-4,\,0,\,1,\,-4):
  • Baixa 1.
  • Multiplica 1 por 4 4. Soma com -4 0.
  • Multiplica 0 por 4 0. Soma com 0 0.
  • Multiplica 0 por 4 0. Soma com 1 1.
  • Multiplica 1 por 4 4. Soma com -4 0.
Quociente é x^{3}+0x^{2}+0x+1=x^{3}+1. Assim
x^{4}-4x^{3}+x-4=(x-4)(x^{3}+1).
Observação: x^{3}+1 pode ser fatorado como (x+1)(x^{2}-x+1), mas não é necessário para cancelar o fator comum.

Passo 6

Substituir essas fatorações na expressão obtida no Passo 3:
\frac{\sqrt{g(x)}-2}{x^{4}-4x^{3}+x-4} = \frac{g(x)-4}{\big(\sqrt{g(x)}+2\big)\,(x-4)(x^{3}+1)} = \frac{(x-4)\big(x^{2}+2x-1\big)}{\big(\sqrt{g(x)}+2\big)\,(x-4)(x^{3}+1)}.
Agora cancelar o fator (x-4) (válido para x\neq 4, e o limite se define pelo comportamento próximo a 4):
\frac{\sqrt{g(x)}-2}{x^{4}-4x^{3}+x-4} = \frac{x^{2}+2x-1}{\big(\sqrt{g(x)}+2\big)\,(x^{3}+1)}\qquad (x\neq 4).
Como essa expressão já é contínua em x=4, podemos fazer a substituição direta em x=4.

Passo 7

Calcular os valores em x=4:
  • x^{2}+2x-1 em x=4:
4^{2}+2\cdot4-1=16+8-1=23.
  • \sqrt{g(x)}+2 em x=4: já vimos \sqrt{g(4)}=2, então \sqrt{g(4)}+2=4.
  • x^{3}+1 em x=4:
4^{3}+1=64+1=65.
Portanto o limite vale
\frac{23}{4\cdot65}=\frac{23}{260}.

Resposta

\dfrac{23}{260}

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