QUESTÃO 01 : Avalie os limites.
(ii)
.
(ii)
Passo 1
O enunciado pede que se avalie o limite
Informações dadas importantes:
- A expressão no numerador é
. - A expressão no denominador é
. - O objetivo é encontrar o valor do limite quando
tende a .
Passo 2
Verificar a forma indeterminada fazendo substituição direta em
.
Calcular
em
:
logo
e o numerador vira
.
Calcular o denominador em
:
Portanto a forma é
, ou seja, indeterminada. Precisamos simplificar a expressão antes de aplicar a substituição.
Passo 3
Escolher uma estratégia: aqui a forma
sugere tentar simplificação algébrica. Uma técnica útil quando aparece
é racionalizar o numerador usando o conjugado. Isso evita derivadas e é mais direto em provas sem calculadora.
Escrever o numerador usando o conjugado:
Assim a fração original pode ser reescrita como
Passo 4
Calcular
explicitamente e fatorá-lo (aqui vou mostrar divisão sintética para ver o fator
).
Temos
Como
,
é fator de
. Fazer divisão de
por
(divisão sintética com
):
Coeficientes:
.
- Baixa
. - Multiplica
por → . Soma com → . - Multiplica
por → . Soma com → . - Multiplica
por → . Soma com → .
Quociente é
e resto
. Logo
Passo 5
Fatorar o denominador
. Como já vimos que a substituição
anula esse polinômio,
é fator. Fazer divisão sintética por
(coeficientes
):
- Baixa
. - Multiplica
por → . Soma com → . - Multiplica
por → . Soma com → . - Multiplica
por → . Soma com → . - Multiplica
por → . Soma com → .
Quociente é
. Assim
Observação:
pode ser fatorado como
, mas não é necessário para cancelar o fator comum.
Passo 6
Substituir essas fatorações na expressão obtida no Passo 3:
Agora cancelar o fator
(válido para
, e o limite se define pelo comportamento próximo a
):
Como essa expressão já é contínua em
, podemos fazer a substituição direta em
.
Passo 7
Calcular os valores em
:
-
em :
-
em : já vimos , então . -
em :
Portanto o limite vale