(Questão 01) Calcule cada integral abaixo:
\int_{0}^{3}\left(2 \cos x-e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\left(2\cos x - e^{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }2\cos x - e^{x},\qquad \text{limites: }x=0\text{ até }x=3.é
A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida usando as informações acima.

Passo 2

Vou usar que, para uma função f que tem uma primitiva F (ou seja, F'(x)=f(x)), vale o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Então precisamos encontrar uma primitiva de f(x)=2\cos x - e^{x}.
Conhecimentos básicos (explicando devagar):
  • A primitiva de \cos x é \sin x porque \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.
  • A primitiva de e^{x} é e^{x} porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • Se multiplicamos uma função por constante, a primitiva multiplica pela mesma constante: \int k\cdot g(x)\,dx = k\int g(x)\,dx.
Aplicando isso termo a termo:
\int 2\cos x\,dx = 2\sin x + C,
\int -e^{x}\,dx = -e^{x} + C.
Portanto uma primitiva de 2\cos x - e^{x} é
F(x)=2\sin x - e^{x}.

Passo 3

Agora aplico o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{3}\left(2\cos x - e^{x}\right)\,dx = F(3)-F(0).

Passo 4

Calculo F(3) e F(0):
F(3)=2\sin 3 - e^{3},
F(0)=2\sin 0 - e^{0}.
Como \sin 0 = 0 e e^{0}=1, temos
F(0)=0 - 1 = -1.

Passo 5

Subtraindo:
F(3)-F(0) = \big(2\sin 3 - e^{3}\big) - (-1) = 2\sin 3 - e^{3} + 1.
Opcionalmente, se quiser uma aproximação numérica: \sin 3\approx 0{,}14112 e e^{3}\approx 20{,}08554, então o valor aproximado é 2\cdot0{,}14112 - 20{,}08554 + 1 \approx -18{,}8033. Mas a forma exata é preferível.

Resposta

2\sin 3 - e^{3} + 1

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