Estude o comportamento das séries alternadas, verificando se são absolutamente, condicionalmente convergentes ou divergentes. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{n}}{5^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar o comportamento da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{n}}{5^{n}}.
Perguntas a responder: a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
Informações dadas e elementos importantes que vamos usar:
Vou revisar os testes que precisamos conhecer (explicando bem para você usar na prova):
Teste do termo geral (teste da divergência): se os termos a_n não tendem a 0 quando n\to\infty, então a série \sum a_n diverge. Ou seja, se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0\quad\text{ou não existe},
a série diverge.
Teste da raiz (teste de Cauchy) para a série de valores absolutos: para uma sequência de termos b_n\ge0, calcule
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}.
Se L<1 a série \sum b_n converge absolutamente; se L>1 a série \sum b_n diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui usaremos esse teste com b_n=|a_n|.
Teste de Leibniz (séries alternadas): se os termos positivos b_n de uma série alternada \sum (-1)^n b_n são monótonos decrescentes e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série converge (pelo menos condicionalmente). Mas esse teste exige que b_n\to0 — se não, nada feito.
Essas são as ferramentas. Agora aplico-as ao nosso caso.
Para n\to\infty temos \left(\dfrac{n}{5}\right)^{n}\to+\infty, pois \dfrac{n}{5}\to\infty e uma potência enésima disso explode. Em particular,
\lim_{n\to\infty} |a_n| = +\infty,
o que implica que os termos a_n não tendem a 0. Pelo teste do termo geral, se os termos não vão a zero a série diverge imediatamente. Logo a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{n}}{5^{n}}
diverge. Não há convergência condicional possível, porque a convergência condicional exigiria que os termos tenderem a zero (mas eles não tendem).
Passo 5
Explicação intuitiva curta (para fixar a ideia): comparar n^{n} com 5^{n}. Podemos escrever \dfrac{n^{n}}{5^{n}}=\left(\dfrac{n}{5}\right)^{n}. Para n grande, \dfrac{n}{5}>1 e cresce com n, então \left(\dfrac{n}{5}\right)^{n} cresce muito rapidamente — os termos não só não vão a zero, como tendem a infinito. Por isso a série não tem como “cancelar” com os sinais alternados; diverge.
Resposta
Diverge (não é nem absolutamente nem condicionalmente convergente).