Estude o comportamento das séries alternadas, verificando se são absolutamente, condicionalmente convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{n}}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento da série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{n}}{5^{n}}.
Perguntas a responder: a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente?
Informações dadas e elementos importantes que vamos usar:
a_n = (-1)^{n+1}\frac{n^{n}}{5^{n}},\qquad |a_n|=\frac{n^{n}}{5^{n}}.

Passo 2

Vou revisar os testes que precisamos conhecer (explicando bem para você usar na prova):
  1. Teste do termo geral (teste da divergência): se os termos a_n não tendem a 0 quando n\to\infty, então a série \sum a_n diverge. Ou seja, se
\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0\quad\text{ou não existe},ã
a série diverge.
  1. Teste da raiz (teste de Cauchy) para a série de valores absolutos: para uma sequência de termos b_n\ge0, calcule
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}.
Se L<1 a série \sum b_n converge absolutamente; se L>1 a série \sum b_n diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui usaremos esse teste com b_n=|a_n|.
  1. Teste de Leibniz (séries alternadas): se os termos positivos b_n de uma série alternada \sum (-1)^n b_n são monótonos decrescentes e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série converge (pelo menos condicionalmente). Mas esse teste exige que b_n\to0 — se não, nada feito.
Essas são as ferramentas. Agora aplico-as ao nosso caso.

Passo 3

Calculo a raiz enésima do termo absoluto:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{n^{n}}{5^{n}}}=\frac{n}{5}.
Agora faço o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5}=+\infty.
Como esse limite (que é o \limsup) é estritamente maior que 1 (na verdade diverge para infinito), pelo teste da raiz a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{n^{n}}{5^{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{n}}{5^{n}}
diverge. Portanto a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Verifico agora o teste do termo geral para a série original (com sinais alternados). Observe o comportamento do termo a_n em módulo:
|a_n|=\frac{n^{n}}{5^{n}}=\left(\frac{n}{5}\right)^{n}.
Para n\to\infty temos \left(\dfrac{n}{5}\right)^{n}\to+\infty, pois \dfrac{n}{5}\to\infty e uma potência enésima disso explode. Em particular,
\lim_{n\to\infty} |a_n| = +\infty,
o que implica que os termos a_n não tendem a 0. Pelo teste do termo geral, se os termos não vão a zero a série diverge imediatamente. Logo a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{n}}{5^{n}}
diverge. Não há convergência condicional possível, porque a convergência condicional exigiria que os termos tenderem a zero (mas eles não tendem).

Passo 5

Explicação intuitiva curta (para fixar a ideia): comparar n^{n} com 5^{n}. Podemos escrever \dfrac{n^{n}}{5^{n}}=\left(\dfrac{n}{5}\right)^{n}. Para n grande, \dfrac{n}{5}>1 e cresce com n, então \left(\dfrac{n}{5}\right)^{n} cresce muito rapidamente — os termos não só não vão a zero, como tendem a infinito. Por isso a série não tem como “cancelar” com os sinais alternados; diverge.

Resposta

Diverge (não é nem absolutamente nem condicionalmente convergente).

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