Questão 01. Calcule a integral abaixo utilizando o método de integração por partes.
\begin{gathered} \int u d v=u v-\int v d u \\\ \int e^{x} \operatorname{sen} x d x \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int e^{x}\sin x\,dx,
usando o método de integração por partes. Também foi fornecida a identidade que vamos usar:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Informações relevantes:
  • É uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.
  • A função a integrar é o produto de e^{x} com \sin x.

Passo 2

Breve lembrete sobre integração por partes (para entender o que cada símbolo significa):
  • Se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, a regra vem da regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'.
  • Integrando ambos os lados e isolando \int u\,dv obtemos a fórmula
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du=u'(x)\,dx e dv=v'(x)\,dx. Aqui:
  • u é a parte que escolhemos para derivar (para obter du);
  • dv é a parte que escolhemos para integrar (para obter v).
    Dica prática: escolha dv que seja fácil de integrar e u que se simplifique ao derivar.

Passo 3

Escolha das partes (seguindo dica prática):
  • Tome u_1=\sin x. Então du_1=\cos x\,dx.
  • Tome dv_1=e^{x}\,dx. Então, integrando, v_1=e^{x}.
Agora aplique a fórmula de integração por partes à integral original I, escrevendo
I=\int e^{x}\sin x\,dx=\int u_1\,dv_1 = u_1 v_1 - \int v_1\,du_1.
Substituindo:
I = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx.
Defina
J=\int e^{x}\cos x\,dx,
para simplificar a escrita. Então
I = e^{x}\sin x - J.

Passo 4

Calcule J por integração por partes novamente:
  • Tome u_2=\cos x. Então du_2=-\sin x\,dx.
  • Tome dv_2=e^{x}\,dx. Então v_2=e^{x}.
Aplicando a fórmula:
J=\int e^{x}\cos x\,dx = u_2 v_2 - \int v_2\,du_2 = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx.
Ou seja,
J = e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin x\,dx.
Mas \int e^{x}\sin x\,dx é justamente I. Então
J = e^{x}\cos x + I.

Passo 5

Volte à expressão de I em função de J e substitua:
I = e^{x}\sin x - J = e^{x}\sin x - (e^{x}\cos x + I).
Agora resolva essa equação para I:
I = e^{x}\sin x - e^{x}\cos x - I.
Some I aos dois lados:
2I = e^{x}(\sin x - \cos x).
Logo
I = \frac{1}{2}e^{x}(\sin x - \cos x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando o resultado deve-se obter o integrando.
Derive F(x)=\dfrac{1}{2}e^{x}(\sin x - \cos x):
F'(x)=\frac{1}{2}\bigl[e^{x}(\sin x - \cos x)+e^{x}(\cos x + \sin x)\bigr] =\frac{1}{2}\cdot 2e^{x}\sin x = e^{x}\sin x.
A verificação confere, então a antiderivada está correta.

Passo 7

Dica final para a prova: esse tipo de integral com e^{ax}\sin(bx) ou e^{ax}\cos(bx) costuma ser resolvido aplicando integração por partes duas vezes e resolvendo um sistema linear como fizemos; há também uma fórmula direta:
\int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}\bigl(a\sin(bx)-b\cos(bx)\bigr)+C,
que reduz o trabalho se souber memorizar ou derivar rapidamente.

Resposta

\dfrac{1}{2}e^{x}\bigl(\sin x - \cos x\bigr)+C

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