Questão 01. Calcule a integral abaixo utilizando o método de integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
usando o método de integração por partes. Também foi fornecida a identidade que vamos usar:
Informações relevantes:
- É uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
. - A função a integrar é o produto de
com .
Passo 2
Breve lembrete sobre integração por partes (para entender o que cada símbolo significa):
- Se
e são funções diferenciáveis, a regra vem da regra do produto: . - Integrando ambos os lados e isolando
obtemos a fórmula
onde
e
. Aqui:
-
é a parte que escolhemos para derivar (para obter ); -
é a parte que escolhemos para integrar (para obter ).
Dica prática: escolhaque seja fácil de integrar e que se simplifique ao derivar.
Passo 3
Escolha das partes (seguindo dica prática):
- Tome
. Então - Tome
. Então, integrando,
Agora aplique a fórmula de integração por partes à integral original
, escrevendo
Substituindo:
Defina
para simplificar a escrita. Então
Passo 4
Calcule
por integração por partes novamente:
- Tome
. Então - Tome
. Então
Aplicando a fórmula:
Ou seja,
Mas
é justamente
. Então
Passo 5
Volte à expressão de
em função de
e substitua:
Agora resolva essa equação para
:
Some
aos dois lados:
Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando o resultado deve-se obter o integrando.
Derive :
Derive
A verificação confere, então a antiderivada está correta.
Passo 7
Dica final para a prova: esse tipo de integral com
ou
costuma ser resolvido aplicando integração por partes duas vezes e resolvendo um sistema linear como fizemos; há também uma fórmula direta:
que reduz o trabalho se souber memorizar ou derivar rapidamente.