Sejam
um número real positivo e
um número natural. Calcule a área limitada pela curva de equação
, a reta horizontal
(eixo dos
) e a reta vertical
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dado que
é um número real positivo, isto é . - Foi dado que
é um número natural, isto é . - A curva é dada por
. - As outras fronteiras são a reta horizontal
(o eixo dos ) e a reta vertical .
O enunciado pede: calcular a área limitada pela curva, pela reta e pela reta .
Passo 2
Identificar o intervalo de integração (onde a região está sobre o eixo
).
Para encontrar onde a curva intersecta resolvemos
. A única solução é
. Como a outra fronteira vertical é
com
, a região está entre
e
. Portanto, a projeção da região no eixo
é o intervalo
.
Para encontrar onde a curva intersecta
Passo 3
Relacionar área com integral definida.
Quando uma função é não negativa em um intervalo
, a área entre o gráfico
, o eixo
e as retas verticais
e
é dada pela integral definida
Quando uma função
No nosso caso
. Observação: para
temos
, portanto a integral representa de fato a área.
Passo 4
Aplicar a regra do poder para obter uma primitiva de
.
A regra do poder diz que, para ,
A regra do poder diz que, para
Aqui
garante
, logo uma primitiva de
é
Breve justificativa do passo: derivando
obtém-se
; ao dividir por
recupera-se
.
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para calcular a integral definida.
Pelo TFC, se é uma primitiva de
, então
Pelo TFC, se
Usando
obtemos
Portanto
Passo 6
Checagem rápida e exemplo para ganhar confiança.
- Se
então e a área é ; a fórmula dá . OK. - Se
então e a área é , que é a conhecida fórmula para essa parábola entre e .