Sejam a um número real positivo e n um número natural. Calcule a área limitada pela curva de equação y=x^{n}, a reta horizontal y=0 (eixo dos x ) e a reta vertical x=a.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dado que a é um número real positivo, isto é a>0.
  • Foi dado que n é um número natural, isto é n\in\mathbb{N}.
  • A curva é dada por y=x^{n}.
  • As outras fronteiras são a reta horizontal y=0 (o eixo dos x) e a reta vertical x=a.
    O enunciado pede: calcular a área limitada pela curva y=x^{n}, pela reta y=0 e pela reta x=a.

Passo 2

Identificar o intervalo de integração (onde a região está sobre o eixo x).
Para encontrar onde a curva intersecta y=0 resolvemos x^{n}=0. A única solução é x=0. Como a outra fronteira vertical é x=a com a>0, a região está entre x=0 e x=a. Portanto, a projeção da região no eixo x é o intervalo [0,a].

Passo 3

Relacionar área com integral definida.
Quando uma função f(x) é não negativa em um intervalo [0,a], a área entre o gráfico y=f(x), o eixo y=0 e as retas verticais x=0 e x=a é dada pela integral definida
\text{Área}=\int_{0}^{a} f(x)\,dx.Á
No nosso caso f(x)=x^{n}. Observação: para x\in[0,a] temos x^{n}\ge 0, portanto a integral representa de fato a área.

Passo 4

Aplicar a regra do poder para obter uma primitiva de x^{n}.
A regra do poder diz que, para n\neq -1,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^{n}.
Aqui n\in\mathbb{N} garante n\neq-1, logo uma primitiva de x^{n} é
F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Breve justificativa do passo: derivando x^{n+1} obtém-se (n+1)x^{n}; ao dividir por n+1 recupera-se x^{n}.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para calcular a integral definida.
Pelo TFC, se F é uma primitiva de x^{n}, então
\int_{0}^{a} x^{n}\,dx = F(a)-F(0).
Usando F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtemos
F(a)=\frac{a^{n+1}}{n+1},\qquad F(0)=\frac{0^{n+1}}{n+1}=0.
Portanto
\int_{0}^{a} x^{n}\,dx = \frac{a^{n+1}}{n+1}.

Passo 6

Checagem rápida e exemplo para ganhar confiança.
  • Se n=0 então y=1 e a área é a; a fórmula dá \dfrac{a^{0+1}}{0+1}=\dfrac{a}{1}=a. OK.
  • Se n=2 então y=x^{2} e a área é \dfrac{a^{3}}{3}, que é a conhecida fórmula para essa parábola entre 0 e a.

Resposta

\displaystyle \frac{a^{\,n+1}}{n+1}

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