Questão 05. Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções
y=5 x-x^{2} \quad \text { e } \quad y=x

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede a área da região limitada por seus gráficos. Informações dadas:
  • As funções são y=5x-x^{2} e y=x.
  • A pergunta é: determinar a área da região limitada pelos gráficos dessas duas curvas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (onde as duas curvas se cruzam), pois a área entre curvas é calculada entre esses x de interseção. Igualamos as duas expressões de y:
5x-x^{2}=x.
Resolve-se:
5x-x^{2}-x=0 \quad\Rightarrow\quad -x^{2}+4x=0.
Fatorando:
-x^{2}+4x = -x(x-4)=0.
Portanto as soluções são
x=0 \quad\text{e}\quad x=4.

Passo 3

Determinar qual curva está acima (função superior) e qual está abaixo (função inferior) no intervalo x\in[0,4]. Calculo a diferença
(5x-x^{2})-x = 4x-x^{2} = x(4-x).
Para x\in[0,4] tem-se x\ge0 e 4-x\ge0, logo x(4-x)\ge0. Isso mostra que
5x-x^{2}\ge x\quad\text{para todo }x\in[0,4],
ou seja, a parábola y=5x-x^{2} está acima da reta y=x nesse intervalo. Assim, a área pedida será a integral da diferença (superior menos inferior) de x=0 a x=4.
Explicação didática rápida do método: a área entre duas curvas y=f(x) (acima) e y=g(x) (abaixo) entre x=a e x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Isto vem da soma de áreas de tiras verticais de largura infinitesimal dx e altura f(x)-g(x).

Passo 4

Calcular a integral. Monta-se a integral da diferença encontrada:
\text{Área}=\int_{0}^{4}\bigl(5x-x^{2}-x\bigr)\,dx=\int_{0}^{4}\bigl(4x-x^{2}\bigr)\,dx.Á
Integração termo a termo usando a regra da potência: para n\neq-1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando isso às parcelas:
\int 4x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}, \qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Portanto a primitiva de 4x-x^{2} é 2x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}. Avaliando de 0 a 4:
\left[2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = \left(2\cdot 4^{2}-\frac{4^{3}}{3}\right)-\left(2\cdot 0^{2}-\frac{0^{3}}{3}\right).
Calcule passo a passo:
2\cdot 4^{2}=2\cdot 16=32, \qquad \frac{4^{3}}{3}=\frac{64}{3}.
Logo
\text{Área}=32-\frac{64}{3}=\frac{96}{3}-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}.Á

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova: a área encontrada é positiva e igual a \dfrac{32}{3}. Em provas, os passos-chave são (1) achar interseções, (2) identificar quem é superior, (3) integrar a diferença. Se ficar em dúvida sobre qual é a função de cima, calcule a diferença e verifique o sinal no intervalo ou num ponto teste (por exemplo x=2: 5\cdot2-2^{2}=6 e y=x=2, confirma que a parábola está acima).

Resposta

\dfrac{32}{3}

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