Questão 05. Determine a área da região limitada pelos gráficos das funções
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede a área da região limitada por seus gráficos. Informações dadas:
- As funções são
e . - A pergunta é: determinar a área da região limitada pelos gráficos dessas duas curvas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (onde as duas curvas se cruzam), pois a área entre curvas é calculada entre esses
de interseção. Igualamos as duas expressões de
:
Resolve-se:
Fatorando:
Portanto as soluções são
Passo 3
Determinar qual curva está acima (função superior) e qual está abaixo (função inferior) no intervalo
. Calculo a diferença
Para
tem-se
e
, logo
. Isso mostra que
ou seja, a parábola
está acima da reta
nesse intervalo. Assim, a área pedida será a integral da diferença (superior menos inferior) de
a
.
Explicação didática rápida do método: a área entre duas curvas
(acima) e
(abaixo) entre
e
é
Isto vem da soma de áreas de tiras verticais de largura infinitesimal
e altura
.
Passo 4
Calcular a integral. Monta-se a integral da diferença encontrada:
Integração termo a termo usando a regra da potência: para
,
Aplicando isso às parcelas:
Portanto a primitiva de
é
. Avaliando de
a
:
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 5
Interpretação final e dica para a prova: a área encontrada é positiva e igual a
. Em provas, os passos-chave são (1) achar interseções, (2) identificar quem é superior, (3) integrar a diferença. Se ficar em dúvida sobre qual é a função de cima, calcule a diferença e verifique o sinal no intervalo ou num ponto teste (por exemplo
:
e
, confirma que a parábola está acima).