Questão 01 - Calcule a integral de linha \int_{C} x y^{2} d s ao longo da circunferência unitária no primeiro quadrante. \quad \boldsymbol{R}: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x y^{2}\,ds ao longo da circunferência unitária no primeiro quadrante.
Informações dadas:
C:\; x^{2}+y^{2}=1,\qquad x\ge 0,\; y\ge 0
A integral a calcular é a integral de uma função escalar f(x,y)=x y^{2} com respeito ao comprimento de arco ds ao longo da curva C.

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente da curva C.
Para a circunferência unitária é natural usar o parâmetro angular t. Tome
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,
com t variando de 0 a \pi/2 para percorrer apenas o primeiro quadrante (de (1,0) em t=0 até (0,1) em t=\pi/2). Aqui t é a variável que representa o ângulo polar.

Passo 3

Escrever a fórmula da integral de linha para função escalar e calcular ds.
Fórmula usada: se C é parametrizada por (x(t),y(t)), a\le t\le b, então
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}\;dt.
Aqui x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}. Essas derivadas medem a velocidade da parametrização; o fator \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a velocidade escalar, que convertido em dt dá o elemento de comprimento ds.
Calcule as derivadas para nossa parametrização:
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
Logo
\sqrt{\big(x'(t)\big)^{2}+\big(y'(t)\big)^{2}}=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}}=\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}=1.
Portanto ds = 1\cdot dt = dt. (Resultado esperado: em parametrização por ângulo na circunferência unitária a velocidade é 1.)

Passo 4

Converter a integral original em uma integral em t e resolvê-la.
Substitua x(t), y(t) e ds na fórmula:
\int_{C} x y^{2}\,ds = \int_{0}^{\pi/2} \big(\cos t\big)\big(\sin^{2}t\big)\cdot 1\;dt = \int_{0}^{\pi/2} \cos t\,\sin^{2}t\;dt.
Agora faça a substituição simples u=\sin t. Então du=\cos t\,dt. Quando t=0 temos u=0; quando t=\pi/2 temos u=1. A integral passa a ser
\int_{0}^{\pi/2} \cos t\,\sin^{2}t\;dt = \int_{0}^{1} u^{2}\;du.
Calcule a primitiva e avalie:
\int_{0}^{1} u^{2}\;du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3}.
Se quiser, um pequeno reforço: o passo de substituição u=\sin t é natural porque a derivada de \sin t é \cos t, que aparece multiplicando \sin^{2}t, permitindo transformar a integral em uma integral polinomial simples.

Passo 5

Comentário final e incentivo rápido (pra animar): fizemos o processo padrão de integrais de linha de uma função escalar — parametrizar a curva, calcular ds pela velocidade, substituir e integrar. Se ficou confuso, refaça cada passo devagar: parametrização → derivadas → montar integrand em t → trocar variável quando conveniente. Você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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