Questão 01 - Calcule a integral de linha \int_{C} x y^{2} d s ao longo da circunferência unitária no primeiro quadrante. \quad \boldsymbol{R}: \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x y^{2}\,ds ao longo da circunferência unitária no primeiro quadrante.
Informações dadas:
C:\; x^{2}+y^{2}=1,\qquad x\ge 0,\; y\ge 0
A integral a calcular é a integral de uma função escalar f(x,y)=x y^{2} com respeito ao comprimento de arco ds ao longo da curva C.
Passo 2
Escolher uma parametrização conveniente da curva C.
Para a circunferência unitária é natural usar o parâmetro angular t. Tome
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,
com t variando de 0 a \pi/2 para percorrer apenas o primeiro quadrante (de (1,0) em t=0 até (0,1) em t=\pi/2). Aqui t é a variável que representa o ângulo polar.
Passo 3
Escrever a fórmula da integral de linha para função escalar e calcular ds.
Fórmula usada: se C é parametrizada por (x(t),y(t)), a\le t\le b, então
Aqui x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}. Essas derivadas medem a velocidade da parametrização; o fator \sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} é a velocidade escalar, que convertido em dt dá o elemento de comprimento ds.
Se quiser, um pequeno reforço: o passo de substituição u=\sin t é natural porque a derivada de \sin t é \cos t, que aparece multiplicando \sin^{2}t, permitindo transformar a integral em uma integral polinomial simples.
Passo 5
Comentário final e incentivo rápido (pra animar): fizemos o processo padrão de integrais de linha de uma função escalar — parametrizar a curva, calcular ds pela velocidade, substituir e integrar. Se ficou confuso, refaça cada passo devagar: parametrização → derivadas → montar integrand em t → trocar variável quando conveniente. Você consegue!