Um carro de montanha russa, sem atrito, parte do ponto A com velocidade \mathbf{v}_{\mathbf{o}}. Calcule a velocidade do carro no ponto D. Suponha que o carro possa ser considerado uma partícula e que permaneça o tempo todo no trilho.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a velocidade no ponto D de um carro de montanha russa, tratado como partícula, que parte do ponto A com velocidade \(v_0). Informações fornecidas:
  • O carro parte do ponto A com velocidade \(v_0).
  • Não há atrito (forças dissipativas desprezíveis).
  • O carro permanece o tempo todo no trilho (ou seja, não perde contato).
  • Os pontos A e D têm alturas h_A e h_D em relação a uma referência vertical (essas alturas não foram numéricas no enunciado).
    Observação: o enunciado não traz valores numéricos ou uma figura com alturas; portanto a resposta deve ser em função de v_0, h_A, h_D e g.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
  • Energia cinética: a energia associada ao movimento de uma partícula de massa m e velocidade v é dada por
K=\frac{1}{2}m v^2.
Aqui m é a massa do carro (em kg) e v sua velocidade (em m/s).
  • Energia potencial gravitacional: a energia associada à posição vertical de uma partícula é
U=m g h,
onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}) e h a altura vertical medida a partir de uma referência (em metros). Note que U depende da escolha da referência de altura; apenas diferenças U_A-U_D têm significado físico direto.
  • Trabalho da força normal: a normal do trilho é sempre perpendicular ao deslocamento instantâneo ao longo do trilho; portanto a força normal não realiza trabalho (trabalho nulo). Assim a normal não muda a energia mecânica.
  • Ausência de atrito: não há forças não conservativas fazendo trabalho; por isso a energia mecânica total (cinética + potencial) se conserva entre dois pontos do movimento.

Passo 3

Escrevendo a conservação da energia mecânica entre A e D:
E_A = E_D
\frac{1}{2}m v_0^2 + m g h_A = \frac{1}{2}m v_D^2 + m g h_D.
Expliquei: na esquerda está a energia no ponto A (cinética com \(v_0) mais potencial em h_A), na direita a energia no ponto D (cinética com \(v_D) mais potencial em h_D).

Passo 4

Simplificando a equação: primeiro podemos cancelar o fator m (a massa aparece em todos os termos):
\frac{1}{2} v_0^2 + g h_A = \frac{1}{2} v_D^2 + g h_D.
Agora isolamos \(v_D^2):
\frac{1}{2} v_D^2 = \frac{1}{2} v_0^2 + g h_A - g h_D.
Multiplicando ambos os lados por 2:
v_D^2 = v_0^2 + 2 g (h_A - h_D).

Passo 5

Tomando a raiz quadrada (a velocidade escalar é a raiz positiva do quadrado da velocidade):
v_D = \sqrt{v_0^2 + 2 g (h_A - h_D)}.
Explanação física: se h_D<h_A (descida), o termo 2g(h_A-h_D) é positivo e a velocidade em D é maior que v_0. Se h_D>h_A (subida), o termo é negativo e a velocidade diminui; se o termo dentro da raiz for zero o carro chega momentaneamente em repouso; se for negativo significa que, com a energia inicial dada, o carro não teria energia suficiente para alcançar D (na prática ele pararia antes). Portanto a condição para que o carro alcance D com velocidade real é
v_0^2 + 2 g (h_A - h_D) \ge 0.

Passo 6

Observações práticas e uso na prova:
  • Escolha a referência de altura de forma conveniente (por exemplo h_D=0 ou h_A=0) para simplificar cálculos; o resultado final em função da diferença de alturas é invariante.
  • Sempre verifique a condição de alcançabilidade mencionada acima antes de aceitar a raiz real.
  • Lembre-se de usar unidades consistentes: v em \mathrm{m/s}, g em \mathrm{m/s^2}, h em \mathrm{m}.
  • Em problemas numéricos, substitua g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (ou 10\\ \mathrm{m/s^2} se o enunciado permitir aproximação) e calcule a raiz. Na prova, mostre o desenvolvimento algébrico como fiz acima e só então substitua números.

Resposta

v_D = \sqrt{v_0^2 + 2 g (h_A - h_D)}

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