Um carro de montanha russa, sem atrito, parte do ponto A com velocidade
. Calcule a velocidade do carro no ponto D. Suponha que o carro possa ser considerado uma partícula e que permaneça o tempo todo no trilho.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a velocidade no ponto
de um carro de montanha russa, tratado como partícula, que parte do ponto
com velocidade
). Informações fornecidas:
- O carro parte do ponto
com velocidade ). - Não há atrito (forças dissipativas desprezíveis).
- O carro permanece o tempo todo no trilho (ou seja, não perde contato).
- Os pontos
e têm alturas e em relação a uma referência vertical (essas alturas não foram numéricas no enunciado).
Observação: o enunciado não traz valores numéricos ou uma figura com alturas; portanto a resposta deve ser em função de, , e .
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
- Energia cinética: a energia associada ao movimento de uma partícula de massa
e velocidade é dada por
Aqui
é a massa do carro (em kg) e
sua velocidade (em m/s).
- Energia potencial gravitacional: a energia associada à posição vertical de uma partícula é
onde
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
) e
a altura vertical medida a partir de uma referência (em metros). Note que
depende da escolha da referência de altura; apenas diferenças
têm significado físico direto.
- Trabalho da força normal: a normal do trilho é sempre perpendicular ao deslocamento instantâneo ao longo do trilho; portanto a força normal não realiza trabalho (trabalho nulo). Assim a normal não muda a energia mecânica.
- Ausência de atrito: não há forças não conservativas fazendo trabalho; por isso a energia mecânica total (cinética + potencial) se conserva entre dois pontos do movimento.
Passo 3
Escrevendo a conservação da energia mecânica entre
e
:
Expliquei: na esquerda está a energia no ponto
(cinética com
) mais potencial em
), na direita a energia no ponto
(cinética com
) mais potencial em
).
Passo 4
Simplificando a equação: primeiro podemos cancelar o fator
(a massa aparece em todos os termos):
Agora isolamos
):
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Tomando a raiz quadrada (a velocidade escalar é a raiz positiva do quadrado da velocidade):
Explanação física: se
(descida), o termo
é positivo e a velocidade em
é maior que
. Se
(subida), o termo é negativo e a velocidade diminui; se o termo dentro da raiz for zero o carro chega momentaneamente em repouso; se for negativo significa que, com a energia inicial dada, o carro não teria energia suficiente para alcançar
(na prática ele pararia antes). Portanto a condição para que o carro alcance
com velocidade real é
Passo 6
Observações práticas e uso na prova:
- Escolha a referência de altura de forma conveniente (por exemplo
ou ) para simplificar cálculos; o resultado final em função da diferença de alturas é invariante. - Sempre verifique a condição de alcançabilidade mencionada acima antes de aceitar a raiz real.
- Lembre-se de usar unidades consistentes:
em , em , em . - Em problemas numéricos, substitua
(ou se o enunciado permitir aproximação) e calcule a raiz. Na prova, mostre o desenvolvimento algébrico como fiz acima e só então substitua números.