Seja A uma matriz n \times n, analise as afirmações a seguir.
I. \lambda é um autovalor de A;
II. O sistema (\lambda I-A) \mathbf{x}=\mathbf{0} de equações tem soluções não triviais;

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n e apresenta duas afirmações:
  1. I: \lambda é um autovalor de A.
  2. II: O sistema (\lambda I - A)\mathbf{x}=\mathbf{0} tem soluções não triviais (isto é, existe \mathbf{x}\neq\mathbf{0} que satisfaz a igualdade).
As informações relevantes são: a matriz A é n\times n; \lambda é um número (escalar) qualquer; o sistema mencionado é um sistema homogêneo associado à matriz \lambda I - A. O que nos pedem é analisar a relação entre as duas afirmações (se são equivalentes, se uma implica a outra, etc.). A resolução começa a partir da definição de autovalor/autovetor e de propriedades de sistemas lineares homogêneos.

Passo 2

Definição (passo-a-passo didático). Vamos lembrar cuidadosamente o que significa cada termo:
\text{``\(\lambda\) é autovalor de \(A\)''}é
significa que existe um vetor \mathbf{v}\in\mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n, dependendo do corpo) tal que \mathbf{v}\neq\mathbf{0} e
A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}.
Esse vetor \mathbf{v} é chamado autovetor associado a \lambda.
Já o sistema
(\lambda I - A)\mathbf{x}=\mathbf{0}
é um sistema linear homogêneo. Dizer que ele tem soluções não triviais significa que existe \mathbf{x}\neq\mathbf{0} com essa propriedade.
Note que a equação A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} pode ser reescrita como
(\lambda I - A)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Portanto, a própria definição de autovalor/autovetor já relaciona diretamente I e II — vamos explorar isso formalmente nos próximos passos.

Passo 3

Mostrando I \Rightarrow II (cada detalhe). Suponha que I seja verdadeira: \lambda é autovalor de A. Pela definição de autovalor, existe \mathbf{v}\neq\mathbf{0} tal que
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}.
Subtraindo os dois lados, obtemos
A\mathbf{v}-\lambda\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Fatorando \mathbf{v},
(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Multiplicando por -1 (operação válida) chegamos em
(\lambda I - A)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Aqui \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, portanto o sistema (\lambda I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0} tem solução não trivial. Assim I implica II. Esse passo foi apenas reescrever a definição; não usamos nenhuma propriedade adicional.

Passo 4

Lema útil sobre sistemas homogêneos (explicação didática). Para qualquer matriz quadrada M de ordem n, o sistema homogêneo
M\mathbf{x}=\mathbf{0}
tem solução não trivial se, e somente se, a matriz M é singular (isto é, não invertível). Uma explicação passo a passo desse lema:
  • Se M for invertível, multiplica-se a equação por M^{-1} e obtém-se \mathbf{x}=\mathbf{0}, logo só a solução trivial existe.
  • Se existe \mathbf{x}\neq\mathbf{0} com M\mathbf{x}=\mathbf{0}, então o núcleo de M é não trivial, o que impede a existência de inversa (uma matriz inversível tem núcleo \{\mathbf{0}\}). Portanto M é singular.
Além disso, para matrizes quadradas, ser singular é equivalente a ter determinante nulo:
M \text{ singular } \iff \det(M)=0.
Esse fato vem das propriedades da determinante: \det(M)\neq 0 \iff M é invertível.

Passo 5

Mostrando II \Rightarrow I (cada detalhe). Suponha que II seja verdadeira: o sistema
(\lambda I - A)\mathbf{x}=\mathbf{0}
tem solução não trivial, ou seja, existe \mathbf{x}\neq\mathbf{0} tal que a igualdade vale. Mas essa igualdade é exatamente a equação de autovalor/relação com autovetor. Reescrevendo-a:
(\lambda I - A)\mathbf{x}=\mathbf{0}\quad\Longrightarrow\quad A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}.
Como \mathbf{x}\neq\mathbf{0}, isso mostra que \lambda é um autovalor de A (com autovetor \mathbf{x}). Portanto II implica I. Note que aqui novamente não precisamos de teoremas adicionais: II já fornece um vetor não nulo satisfazendo a definição de autovalor.

Passo 6

Conexão com determinante e polinômio característico (aula curta). Unindo os passos anteriores temos também a seguinte equivalência útil e frequentemente usada em provas e problemas:
\lambda \text{ é autovalor de } A \quad\Longleftrightarrow\quad \det(\lambda I - A)=0.é
A expressão \det(\lambda I - A) é o polinômio característico de A (um polinômio em \lambda de grau n). As raízes desse polinômio são exatamente os autovalores de A. A justificativa é: \det(\lambda I - A)=0 \iff \lambda I - A é singular \iff existe \mathbf{x}\neq\mathbf{0} tal que (\lambda I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0} \iff \lambda é autovalor.

Passo 7

Exemplo concreto e rápido (para fixar). Tome
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
Escolha \lambda=2. Verificamos:
(\lambda I - A)=\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\[4pt]0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.
O sistema (\lambda I-A)\mathbf{x}=\mathbf{0} é
\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},
que dá 0\cdot x_1+0\cdot x_2=0 (equação sempre satisfeita) e -x_2=0 (logo x_2=0). Existem soluções com x_1 qualquer, por exemplo \mathbf{x}=(1,0)^\top\neq\mathbf{0}. Assim II vale e então I vale: de fato A(1,0)^\top=2(1,0)^\top, logo 2 é autovalor com autovetor (1,0)^\top.]

Passo 8

Conclusão final e interpretação prática para a prova (dica amiga). A implicação prática: quando na prova aparecer a frase `` \lambda é autovalor de A‘’ você pode imediatamente escrever que o sistema (\lambda I - A)\mathbf{x}=\mathbf{0} tem solução não trivial, e vice-versa. Se precisarem testar se \lambda é autovalor, calcule \det(\lambda I - A): se for zero, \lambda é autovalor; se não for zero, não é. Isso costuma ser a forma mais rápida em exercícios.

Resposta

I e II são equivalentes; ou seja, I é verdadeira se, e somente se, II é verdadeira.

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