Seja A uma matriz
, analise as afirmações a seguir.
I.
é um autovalor de A;
II. O sistema
de equações tem soluções não triviais;
I.
II. O sistema
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
e apresenta duas afirmações:
- I:
é um autovalor de . - II: O sistema
tem soluções não triviais (isto é, existe que satisfaz a igualdade).
As informações relevantes são: a matriz
é
;
é um número (escalar) qualquer; o sistema mencionado é um sistema homogêneo associado à matriz
. O que nos pedem é analisar a relação entre as duas afirmações (se são equivalentes, se uma implica a outra, etc.). A resolução começa a partir da definição de autovalor/autovetor e de propriedades de sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
Definição (passo-a-passo didático). Vamos lembrar cuidadosamente o que significa cada termo:
significa que existe um vetor
(ou
, dependendo do corpo) tal que
e
Esse vetor
é chamado autovetor associado a
.
Já o sistema
é um sistema linear homogêneo. Dizer que ele tem soluções não triviais significa que existe
com essa propriedade.
Note que a equação
pode ser reescrita como
Portanto, a própria definição de autovalor/autovetor já relaciona diretamente I e II — vamos explorar isso formalmente nos próximos passos.
Passo 3
Mostrando I
II (cada detalhe). Suponha que I seja verdadeira:
é autovalor de
. Pela definição de autovalor, existe
tal que
Subtraindo os dois lados, obtemos
Fatorando
,
Multiplicando por
(operação válida) chegamos em
Aqui
, portanto o sistema
tem solução não trivial. Assim I implica II. Esse passo foi apenas reescrever a definição; não usamos nenhuma propriedade adicional.
Passo 4
Lema útil sobre sistemas homogêneos (explicação didática). Para qualquer matriz quadrada
de ordem
, o sistema homogêneo
tem solução não trivial se, e somente se, a matriz
é singular (isto é, não invertível). Uma explicação passo a passo desse lema:
- Se
for invertível, multiplica-se a equação por e obtém-se , logo só a solução trivial existe. - Se existe
com , então o núcleo de é não trivial, o que impede a existência de inversa (uma matriz inversível tem núcleo ). Portanto é singular.
Além disso, para matrizes quadradas, ser singular é equivalente a ter determinante nulo:
Esse fato vem das propriedades da determinante:
é invertível.
Passo 5
Mostrando II
I (cada detalhe). Suponha que II seja verdadeira: o sistema
tem solução não trivial, ou seja, existe
tal que a igualdade vale. Mas essa igualdade é exatamente a equação de autovalor/relação com autovetor. Reescrevendo-a:
Como
, isso mostra que
é um autovalor de
(com autovetor
). Portanto II implica I. Note que aqui novamente não precisamos de teoremas adicionais: II já fornece um vetor não nulo satisfazendo a definição de autovalor.
Passo 6
Conexão com determinante e polinômio característico (aula curta). Unindo os passos anteriores temos também a seguinte equivalência útil e frequentemente usada em provas e problemas:
A expressão
é o polinômio característico de
(um polinômio em
de grau
). As raízes desse polinômio são exatamente os autovalores de
. A justificativa é:
é singular
existe
tal que
é autovalor.
Passo 7
Exemplo concreto e rápido (para fixar). Tome
Escolha
. Verificamos:
O sistema
é
que dá
(equação sempre satisfeita) e
(logo
). Existem soluções com
qualquer, por exemplo
. Assim II vale e então I vale: de fato
, logo
é autovalor com autovetor
.]
Passo 8
Conclusão final e interpretação prática para a prova (dica amiga). A implicação prática: quando na prova aparecer a frase ``
é autovalor de
‘’ você pode imediatamente escrever que o sistema
tem solução não trivial, e vice-versa. Se precisarem testar se
é autovalor, calcule
: se for zero,
é autovalor; se não for zero, não é. Isso costuma ser a forma mais rápida em exercícios.
Resposta
I e II são equivalentes; ou seja, I é verdadeira se, e somente se, II é verdadeira.