Questão 01: Campo elétrico de uma esfera polarizada
Uma esfera de raio , neutra, possui uma polarização dada por
onde é uma constante e é o vetor a partir do centro.
(a) Calcule a densidade superficial de carga de polarização.
(b) Mostre que a densidade volumétrica de carga de polarização é constante e vale
(c) A partir dos resultados dos itens (a) e (b), mostre que a carga total de polarização da esfera é zero.
Passo 1
O enunciado trata de uma esfera neutra de raio polarizada segundo
onde é constante e é o vetor posição. Vamos usar as fórmulas de carga ligada (polarização):
– densidade superficial
– densidade volumétrica
e em seguida verificar que a carga total ligada é zero.
Passo 2
Na superfície da esfera temos e o vetor normal externo é . Logo
e portanto
Passo 3
Para a densidade volumétrica usamos
Como , segue
Passo 4
A carga total ligada é
Calculando cada parte: Qv = rhoptimes tfrac43pi a^3 = -3beta times tfrac43pi a^3 = -4pibeta a^3, Qs = sigmaptimes 4pi a^2 = beta a times 4pi a^2 = +4pibeta a^3
Somando dá zero.