Questão 01: Campo elétrico de uma esfera polarizada

Uma esfera de raio a, neutra, possui uma polarização dada por
P=beta r,
onde beta é uma constante e r é o vetor a partir do centro.
(a) (1,0) Calcule a densidade superficial de carga de polarização.
(b) (1,5) Mostre que a densidade volumétrica de carga de polarização é constante e vale
rhop=-3 beta
(c) (1,5) A partir dos resultados dos itens (a) e (b), mostre que a carga total de polarização da esfera é zero.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera neutra de raio a polarizada segundo
P = beta,r,
onde beta é constante e vec r é o vetor posição. Vamos usar as fórmulas de carga ligada (polarização):
– densidade superficial
sigmap = Pcdotn,
– densidade volumétrica
rhop = -nabla!cdot P,
e em seguida verificar que a carga total ligada é zero.

Passo 2

Na superfície da esfera temos vec r = a,hat r e o vetor normal externo é hat n=hat r. Logo
Pl(r=ar)=beta,a,hat r
e portanto
sigmap = Pcdotn = beta,a

Passo 3

Para a densidade volumétrica usamos
rhop = -nabla!cdot P = -beta,nabla!cdotl(x,hatimath + y,hatjmath + z,hat kr)
Como nabla!cdot(x,hatimath + y,hatjmath + z,hat k)=1+1+1=3, segue
rhop = -3,beta

Passo 4

A carga total ligada é
Qtotal = underbraceintegralvol rhop,dVQv + underbraceintegralsurfsigmap,dAQs
Calculando cada parte:
Qv = rhoptimes tfrac43pi a^3 = -3beta times tfrac43pi a^3 = -4pibeta a^3,
Qs = sigmaptimes 4pi a^2 = beta a times 4pi a^2 = +4pibeta a^3
Somando dá zero.

Resposta

(a) sigmap = beta,a.
(b) rhop = -3,beta.
(c) Qtotal=0.

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