Questão 02: Lei de Gauss

Considere um cilindro circular longo e maciço de raio a com densidade de carga volumétrica rho=alpha s^3, onde alpha é uma constante e s é a distância ao eixo do cilindro. Use a lei de Gauss para encontrar o módulo do campo elétrico:
(a) (1,5) Dentro do cilindro, a uma distância s do seu eixo.
(b) (1,5) Fora do cilindro, a uma distância s do seu eixo.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro infinito de raio a com densidade de carga volumétrica rho(s)=alpha s^3, onde s é a distância ao eixo. Precisamos usar a lei de Gauss para achar o módulo do campo elétrico E(s)
Conteúdo: simetria cilíndrica e lei de Gauss em eletrostática.

Passo 2

Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio s e comprimento L. Por simetria o campo é radial e constante na superfície lateral, e as bases não contribuem. A lei de Gauss dá
oint Ecdot dA ;=; E,(2pi s L);=;Qrm intvarepsilon0,

Passo 3

Para s<a, a carga interna é
Qrm int=integral0^srho(s'),dV =integral0^salpha s'^3l(2pi s' Lr),ds' =2pialpha Lintegral0^ss'^4,ds' =2pialpha L,s^55,

Passo 4

Substituindo na lei de Gauss para s<a:
E,(2pi s L) =1varepsilon0,2pialpha L,s^55 Longrightarrow E(s)=alpha,s^45,varepsilon0,

Passo 5

Para s>a, toda a carga do cilindro até a está dentro, então
Qrm int =2pialpha L,a^55,
A lei de Gauss dá
E,(2pi s L) =1varepsilon0,2pialpha L,a^55 Longrightarrow E(s)=alpha,a^55,varepsilon0,s,

Resposta

(a) Para s<a:
E(s)=alpha,s^45,varepsilon0,
(b) Para s>a:
E(s)=alpha,a^55,varepsilon0,s,

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