Verifique se os potenciais retardados de um dipolo oscilante,
V(r, theta, t)=p0 cos theta4 pi epsilon0 r-omegac sin [omega(t-r / c)]+1r cos [omega(t-r / c)] A(r, theta, t)=-mu0 p0 omega4 pi r sin [omega(t-r / c)] z
satisfazem a condição de calibre de Lorentz. Não use a aproximação r gg comega.

Passo 1

O enunciado fornece os potenciais retardados de um dipolo oscilante e nos pede para verificar a condição de calibre de Lorentz, que em unidades SI é
nablacdot A ;+;mu0,epsilon0,partial Vpartial t;=;0
Vamos então calcular separadamente nablacdotA e mu0epsilon0,partial V/partial t e mostrar que sua soma se anula.

Passo 2

Note que A(r,theta,t) = Az(r,t),z com
Az(r,t) ;=;-,mu0,p0,omega4pi,r,sinl[omega(t - r/c)r]
Como A só tem componente z, temos
nablacdotA ;=;partial Azpartial z

Passo 3

Escrevemos r=raizx^2+y^2+z^2 e Phi=omega(t - r/c). Então
partial Azpartial z =-mu0p0omega4pi,partialpartial zl(1rsinPhir)
Aplicando a regra do produto e partial r/partial z = z/r, obtemos
partial Azpartial z =-mu0p0omega4pil[-zr^3sinPhi ;+;1r,partial sinPhipartial r,partial rpartial zr] =mu0p0omega,z4pil(sinPhir^3+kcosPhir^2r),
onde k=omega/c e partialsinPhi/partial r=-kcosPhi.

Passo 4

O potencial escalar é
V(r,theta,t) =p0costheta4piepsilon0,rl[-,ksinPhi+1rcosPhir]
Como costheta=z/r, temos
partial Vpartial t =p0,z4piepsilon0,r^2 l[-,k,omegacosPhi-omegarsinPhir]
Multiplicando por mu0epsilon0:
mu0epsilon0,partial Vpartial t =mu0p0omega,z4pil(-kcosPhir^2-sinPhir^3r)

Passo 5

Somando os dois resultados:
nablacdotA +mu0epsilon0,partial Vpartial t =mu0p0omega,z4pi l(sinPhir^3+kcosPhir^2 -kcosPhir^2-sinPhir^3r) =0
Portanto, a condição de calibre de Lorentz é satisfeita exatamente, sem aproximações.

Resposta

Os potenciais satisfazem a condição de calibre de Lorentz.

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