QUESTÃO 02 : Complete as igualdades abaixo, escrevendo em formato de conjunto se o conjunto estiver na notação de intervalo, e no formato de intervalo se estiver descrito no formato de conjunto, utilizando caso necessário os símbolos \cap \mathrm{e} \cup.
{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x<\sqrt{5} ou x \geq 6\}=

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto descrito por compreensão:
\{x\in\mathbb{R}\mid 1\le x<\sqrt{5}\\ \text{ou}\\ x\ge 6\}.
A tarefa é escrever esse conjunto no formato de intervalo (usar, se necessário, os símbolos \cap e \cup).

Passo 2

Vou explicar o que cada parte da notação por compreensão significa, para depois converter em intervalos:
  • A expressão 1\le x<\sqrt{5} indica todos os números reais x que são maiores ou iguais a 1 e menores estritamente que \sqrt{5}.
  • A expressão x\ge 6 indica todos os números reais x que são maiores ou iguais a 6.

Passo 3

Relembrando como representar desigualdades por intervalos:
  • Uma desigualdade do tipo a\le x\le b corresponde ao intervalo fechado [a,b] (inclui ambos os extremos).
  • Uma desigualdade do tipo a\le x<b corresponde ao intervalo misto [a,b) (inclui a, não inclui b).
  • Uma desigualdade do tipo x\ge a corresponde ao intervalo semi-infinito [a,\infty). Observação importante: o símbolo \infty nunca é incluído, então sempre se usa parêntese junto a \infty.

Passo 4

Converter a primeira parte 1\le x<\sqrt{5} para intervalo:
  • Como 1 está incluído ( \le), usamos colchete à esquerda.
  • Como \sqrt{5} não está incluído ( <), usamos parêntese à direita.
    Portanto 1\le x<\sqrt{5} corresponde ao intervalo [1,\sqrt{5}).

Passo 5

Converter a segunda parte x\ge 6 para intervalo:
  • Como 6 está incluído ( \ge), colocamos colchete em 6.
  • O lado direito é ilimitado para cima, então usamos \infty com parêntese.
    Portanto x\ge 6 corresponde ao intervalo [6,\infty).

Passo 6

Combinar as duas partes com o conectivo lógico “ou”:
  • Na linguagem de conjuntos, “ou” corresponde à união, simbolizada por \cup.
  • Assim o conjunto todo é a união dos dois intervalos encontrados.
  • Nota: os intervalos [1,\sqrt{5}) e [6,\infty) são disjuntos (não se sobrepõem), porque \sqrt{5}\approx 2,236 é muito menor que 6; isso não altera a forma da união, só confirma que não há interseção.

Resposta

[1,\sqrt{5})\cup[6,\infty)

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