(Queståo 01) - Considere uma bomba centrifuga que apresenta escoamento com entrada radial e que possul as seguintes caracteristicas técnicas:
o diámetro interno (Di) é 50 mm e o externo (De) é 250 mm , a largura da pá na entrada (b4) è 10 mm e na saida (bs) é 5 mm , o ângulo da pá na entrada \left(\beta_{4}\right) é 20^{\circ} e na saida \left(\beta_{5}\right) é 23^{\circ}, e a bomba trabalha com rotaçăo de 1300 rpm .
Determine o triângulo de velocidades ( \mathrm{a}_{5} ; \mathrm{Cs}_{5} ; \mathrm{C}_{m 5} ; \mathrm{Cus}_{3} ; \mathrm{W}_{5} ; \mathrm{W}_{45} ; \mathrm{U}_{5} ) na saida.

Passo 1

O enunciado pede o triângulo de velocidades na saída da pá (estação 5). Especificamente devemos determinar (usando exatamente os notações do enunciado): \alpha_{5}, C_{s5}, C_{m5}, C_{u5} (interpreto aqui o texto “Cus3” como C_{u5}), W_{5}, W_{45} e U_{5}.
Dados fornecidos (vou listar em SI, porque facilita as contas):
\begin{aligned} D_i &= 50\\ \text{mm} = 0{,}050\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad r_4=\tfrac{D_i}{2}=0{,}025\\ \text{m},\\\ D_e &= 250\\ \text{mm} = 0{,}250\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad r_5=\tfrac{D_e}{2}=0{,}125\\ \text{m},\\\ b_4 &= 10\\ \text{mm} = 0{,}010\\ \text{m},\\\ b_5 &= 5\\ \text{mm} = 0{,}005\\ \text{m},\\\ \beta_4 &= 20^\circ,\\\ \beta_5 &= 23^\circ,\\\ n &= 1300\\ \text{rpm}. \end{aligned}
Observações (apenas identificação do que foi dado — a resolução começa no passo seguinte):
  • A entrada é radial, então vou usar a hipótese usual de escoamento radial absoluto na entrada, isto é C_{u4}=0.
  • Pressuposição de escoamento incompressível e estacionário; vazão volumétrica Q é a mesma em toda a seção entre pás; área meridional na circunferência de raio r é A=2\pi r b.
  • Não há outros dados (como perdas) no enunciado, então vou usar as relações geométricas/geométricas da triângulo de velocidades padrão das turbomáquinas.

Passo 2

Calcular a velocidade angular \omega e as velocidades periféricas U_4 e U_5.
Fórmula:
\omega = 2\pi\frac{n}{60}.
Substituindo:
\omega = 2\pi\frac{1300}{60} \approx 136{,}136\\ \text{rad/s}.
As velocidades periféricas (tangenciais) valem \displaystyle U=\omega r. Logo:
\begin{aligned} U_4 &= \omega r_4 = 136{,}136\cdot 0{,}025 \approx 3{,}403\\ \text{m/s},\\[4pt] U_5 &= \omega r_5 = 136{,}136\cdot 0{,}125 \approx 17{,}017\\ \text{m/s}. \end{aligned}
Explanação curta: U é a velocidade tangencial da pá num dado raio; é a velocidade da superfície da pá vista num referencial fixo.]

Passo 3

Determinar a velocidade meridional na entrada C_{m4} usando o ângulo relativo \beta_4 e a hipótese C_{u4}=0 (escoamento radial absoluto na entrada).
Geometria da velocidade relativa na entrada: \tan\beta_4 = \dfrac{C_{m4}}{U_4 - C_{u4}}. Como C_{u4}=0,
C_{m4} = U_4 \tan\beta_4.
Calcule:
\tan 20^\circ \approx 0{,}36397,
C_{m4} = 3{,}403\cdot 0{,}36397 \approx 1{,}240\\ \text{m/s}.
Didática: C_m é a componente meridional (radial/axial conforme geometria) do escoamento absoluto; a relação acima vem diretamente do triângulo de velocidades relativo na entrada.

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica Q (constante ao longo do percurso entre pás) usando a seção meridional na entrada.
Área meridional à circunferência de raio r é A=2\pi r b. Logo:
Q = A_4 C_{m4} = 2\pi r_4 b_4 C_{m4}.
Substituindo números:
Q = 2\pi\cdot 0{,}025\cdot 0{,}010\cdot 1{,}240 \approx 0{,}001947\\ \text{m}^3\!/\text{s}.
Comentário: calcular Q é fundamental porque, sem saber Q, não dá para achar C_{m5} quando a largura da pá muda.

Passo 5

Determinar C_{m5} (componente meridional na saída) por conservação de vazão:
C_{m5} = \frac{Q}{2\pi r_5 b_5}.
Substituindo:
2\pi r_5 b_5 = 2\pi\cdot 0{,}125\cdot 0{,}005 = 0{,}003927\\ \text{m}^2,
C_{m5} = \frac{0{,}001947}{0{,}003927} \approx 0{,}4956\\ \text{m/s}.
Didática: como a largura diminui de b_4 para b_5 e o raio aumenta, a velocidade meridional muda para manter Q constante.

Passo 6

Determinar a componente tangencial absoluta na saída C_{u5} (que no enunciado aparece como Cus3, interpretei como C_{u5}) usando o ângulo relativo da pá \beta_5.
Relação geométrica (triângulo relativo na saída):
\tan\beta_5 = \frac{C_{m5}}{\,U_5 - C_{u5}\,}.
Isolando C_{u5}:
U_5 - C_{u5} = \frac{C_{m5}}{\tan\beta_5} \quad\Rightarrow\quad C_{u5} = U_5 - \frac{C_{m5}}{\tan\beta_5}.
Calcule:
\tan 23^\circ \approx 0{,}424475,
\frac{C_{m5}}{\tan\beta_5} = \frac{0{,}4956}{0{,}424475} \approx 1{,}1670\\ \text{m/s},
C_{u5} = 17{,}017 - 1{,}1670 \approx 15{,}850\\ \text{m/s}.
Explicação: C_{u5} é a componente tangencial da velocidade absoluta na saída; obtivemos usando a condição geométrica imposta pelo ângulo relativo da pá.

Passo 7

Determinar C_{s5} e \alpha_5. Aqui interpreto C_{s5} como componente tangencial absoluta (às vezes notada C_{\theta 5} ou C_{u5}). Assim:
C_{s5} = C_{u5} \approx 15{,}850\\ \text{m/s}.
O ângulo absoluto \alpha_5 (ângulo entre a velocidade absoluta e a tangente) satisfaz:
\tan\alpha_5 = \frac{C_{m5}}{C_{u5}}.
Logo:
\tan\alpha_5 = \frac{0{,}4956}{15{,}850} \approx 0{,}03126,
\alpha_5 \approx \arctan(0{,}03126) \approx 1{,}79^\circ.
Didática: \alpha costuma ser pequeno quando a componente tangencial é muito maior que a meridional.

Passo 8

Calcular a velocidade relativa W_5 na saída (módulo) e, para referência, calcular W_4 na entrada e a diferença W_{45}=W_4-W_5 (interpreto W_{45} como essa diferença de módulos, já que o enunciado pede um termo W_{45}).
Componentes da velocidade relativa na saída:
\begin{aligned} (W_5)_{\text{tang}} &= U_5 - C_{u5} \approx 17{,}017 - 15{,}850 = 1{,}167\\ \text{m/s},\\[4pt] (W_5)_{\text{mer}} &= C_{m5} \approx 0{,}4956\\ \text{m/s}. \end{aligned}
Módulo:
W_5 = \sqrt{(U_5-C_{u5})^2 + C_{m5}^2} = \sqrt{1{,}167^2 + 0{,}4956^2} \approx 1{,}268\\ \text{m/s}.
Na entrada (para referência):
\begin{aligned} (U_4-C_{u4}) &= 3{,}403 - 0 = 3{,}403\\ \text{m/s},\\[4pt] C_{m4} &\approx 1{,}240\\ \text{m/s},\\[4pt] W_4 &= \sqrt{3{,}403^2 + 1{,}240^2} \approx 3{,}624\\ \text{m/s}. \end{aligned}
Diferença (interpretação de W_{45}):
W_{45} = W_4 - W_5 \approx 3{,}624 - 1{,}268 = 2{,}356\\ \text{m/s}.
Breve didática: W é a velocidade que o fluido “vê” em referência ligada à pá (velocidade relativa); é o lado oposto do triângulo formado por C e U.]

Passo 9

Resumo dos resultados numéricos (valores arredondados com razoável número de algarismos significativos). Estes são os elementos do triângulo de velocidades na saída pedidos no enunciado, obtidos a partir das hipóteses explicadas (entrada radial C_{u4}=0, conservação de vazão, geometria do triângulo de velocidades):
Valores calculados:
\begin{aligned} \omega &\approx 136{,}136\\ \text{rad/s},\\\ U_4 &\approx 3{,}403\\ \text{m/s},\quad U_5 \approx 17{,}017\\ \text{m/s},\\\ C_{m4} &\approx 1{,}240\\ \text{m/s},\quad Q\approx 0{,}001947\\ \text{m}^3/\text{s},\\\ C_{m5} &\approx 0{,}4956\\ \text{m/s},\\\ C_{u5} &\approx 15{,}850\\ \text{m/s},\\\ C_{s5} &\equiv C_{u5} \approx 15{,}850\\ \text{m/s},\\\ \alpha_5 &\approx 1{,}79^\circ,\\\ W_5 &\approx 1{,}268\\ \text{m/s},\quad W_4\approx 3{,}624\\ \text{m/s},\\\ W_{45} &\approx 2{,}356\\ \text{m/s}. \end{aligned}

Resposta

\alpha_{5}=1{,}79^\circ
C_{s5}=15{,}850\\ \mathrm{m/s}
C_{m5}=0{,}4956\\ \mathrm{m/s}
C_{u5}=15{,}850\\ \mathrm{m/s}
W_{5}=1{,}268\\ \mathrm{m/s}
W_{45}=2{,}356\\ \mathrm{m/s}
U_{5}=17{,}017\\ \mathrm{m/s}

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