Questão 01) Considere uma esfera isolante, de raio a, carregada com carga positiva 3 Q uniformemente distribuída pelo seu volume, concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b e raio externo c, carregada com carga negativa -Q. a) Determine as distribuições de cargas nas superfícies interna e externa da casca esférica em equilibrio eletrostático. b) Determine o vetor campo elétrico distante r do centro da esfera nas condições r<a, a<r<b, b<r<c, e r>c. c) construa um gráfico da magnitude do campo elétrico em função de r.

Passo 1

O problema envolve uma esfera isolante de raio a com carga positiva total 3Q uniformemente distribuída e, concêntrica a ela, uma casca metálica de raio interno b e externo c com carga total -Q. Precisamos usar eletrostática de condutores (campo nulo no metal) e a Lei de Gauss para simetria esférica para:
– (a) achar as cargas induzidas nas superfícies interna ( r=b) e externa ( r=c) da casca;
– (b) obter E(r) nas regiões r<a, a<r<b, b<r<c e r>c;
– (c) esboçar E(r) em função de r.

Passo 2

Em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do metal (entre b<r<c) deve ser zero. Considere uma superfície gaussiana esférica de raio r com b<r<c. Como E=0 ali, pela Lei de Gauss o total de carga dentro dela é nulo. Essa carga é a soma da esfera interna ( +3Q) mais a carga na face interna da casca, Qrm int. Logo
3Q + Qrm int = 0
Rightarrow Qrm int = -3Q
Como a casca tem carga total -Q, a carga na face externa Qrm ext satisfaz
Qrm int + Qrm ext = -Q
Rightarrow Qrm ext = -Q -(-3Q) = 2Q

Passo 3

Para r<a usamos a Lei de Gauss num raio r dentro da esfera isolante. A carga enclausurada é proporcional ao volume r^3:
Qrm enc(r) = 3Q cdot r^3a^3
A Lei de Gauss diz
E(r),4pi r^2 = 1varepsilon0,Qrm enc(r)
Logo
E(r) = 14pivarepsilon0,3Q,r^3/a^3r^2 = 14pivarepsilon0,3Qa^3,r,
e o vetor campo é E(r)=E(r),hat r.

Passo 4

Para a<r<b toda a carga 3Q da esfera está dentro da superfície gaussiana. Assim
E(r),4pi r^2 = 1varepsilon0,3Q Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,3Qr^2,
com E(r)=E(r),hat r.

Passo 5

Para b<r<c estamos dentro do material condutor, e já vimos que E=0 nessa região.

Passo 6

Para r>c a carga total vista pela Gaussiana é a soma das cargas da esfera e da casca: 3Q + (-Q)=2Q. Assim
E(r),4pi r^2 = 1varepsilon0,2Q Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,2Qr^2,
e E(r)=E(r),hat r.

Passo 7

O gráfico de E(r) versus r é:
– De 0 a a: cresce linearmente ( Epropto r).
– De a até b: decai como 1/r^2.
– De b até c: vale zero. Note que em r=b há um salto discontinuo de tfrac14pivarepsilon03Q/b^2 para 0.
– Para r>c: volta a decair como 1/r^2, partindo do valor tfrac14pivarepsilon02Q/c^2 em r=c.

Resposta

a)
c) Gráfico qualitativo conforme descrito no Passo 7.]

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