Questão 01) Considere uma esfera isolante, de raio
, carregada com carga positiva
uniformemente distribuída pelo seu volume, concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno
e raio externo
, carregada com carga negativa
. a) Determine as distribuições de cargas nas superfícies interna e externa da casca esférica em equilibrio eletrostático. b) Determine o vetor campo elétrico distante
do centro da esfera nas condições
, e
. c) construa um gráfico da magnitude do campo elétrico em função de
.
Passo 1
O problema envolve uma esfera isolante de raio
com carga positiva total
uniformemente distribuída e, concêntrica a ela, uma casca metálica de raio interno
e externo
com carga total
. Precisamos usar eletrostática de condutores (campo nulo no metal) e a Lei de Gauss para simetria esférica para:
– (a) achar as cargas induzidas nas superfícies interna ( ) e externa (
) da casca;
– (b) obter nas regiões
,
,
e
;
– (c) esboçar em função de
.
– (a) achar as cargas induzidas nas superfícies interna (
– (b) obter
– (c) esboçar
Passo 2
Em equilíbrio eletrostático o campo elétrico no interior do metal (entre
) deve ser zero. Considere uma superfície gaussiana esférica de raio
com
. Como
ali, pela Lei de Gauss o total de carga dentro dela é nulo. Essa carga é a soma da esfera interna (
) mais a carga na face interna da casca,
. Logo
Como a casca tem carga total
Passo 3
Para
usamos a Lei de Gauss num raio
dentro da esfera isolante. A carga enclausurada é proporcional ao volume
:
A Lei de Gauss diz
Logo
e o vetor campo é
.
Passo 4
Para
toda a carga
da esfera está dentro da superfície gaussiana. Assim
com
.
Passo 5
Para
estamos dentro do material condutor, e já vimos que
nessa região.
Passo 6
Para
a carga total vista pela Gaussiana é a soma das cargas da esfera e da casca:
. Assim
e
.
Passo 7
O gráfico de
versus
é:
– De a
: cresce linearmente (
).
– De até
: decai como
.
– De até
: vale zero. Note que em
há um salto discontinuo de
para
.
– Para : volta a decair como
, partindo do valor
em
.
– De
– De
– De
– Para
Resposta
a)
c) Gráfico qualitativo conforme descrito no Passo 7.]