Uma partícula é descrita por uma função de onda Psi(x)=A e^-alpha x, onde A e alpha são constantes reais positivas. Se o valor de alpha aumenta, qual é o efeito que isso tem sobre (a) a incerteza da partícula na posição e (b) a incerteza da partícula no momento linear? Explique suas respostas.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda unidimensional
Psi(x) = A e^-alpha x,
com A>0, alpha>0 reais, em geral definida para x>=0, e pede o efeito de variar alpha sobre a incerteza em posição De<a x e em momento De<a p.
Conteúdo: mecânica quântica e princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver, vamos (i) normalizar Psi(x), (ii) calcular De<a x a partir de lang<= xrang<= e lang<= x^2rang<=, (iii) obter a função de onda no espaço de momento Phi(p) por transformada de Fourier, e (iv) calcular De<a p de lang<= prang<= e lang<= p^2rang<=.

Passo 2

Normalização de Psi(x) em xin[0,infty):
1 = integral0^infty|Psi(x)|^2,dx = integral0^inftyA^2 e^-2alpha x,dx = A^2[e^-2alpha x-2alpha]0^infty = A^22alpha
Logo
A = raiz2alpha

Passo 3

Cálculo de De<a x. Primeiro
lang<= xrang<= = integral0^inftyx,|Psi(x)|^2,dx =2alphaintegral0^inftyx,e^-2alpha xdx =2alphacdot1(2alpha)^2 =12alpha,
e
lang<= x^2rang<= =2alphaintegral0^inftyx^2,e^-2alpha xdx =2alphacdot2(2alpha)^3 =12alpha^2
Portanto
(De<a x)^2 =lang<= x^2rang<= - lang<= xrang<=^2 =12alpha^2-14alpha^2 =14alpha^2,
isto é
De<a x = 12alpha

Passo 4

Cálculo de De<a p. A transformada de Fourier é
Phi(p) =1raiz2pihbar integral0^inftyPsi(x),e^-ipx/hbardx =raiz2alpharaiz2pihbar, 1alpha + i p/hbar
Logo a densidade no momento é
|Phi(p)|^2 =2alpha2pihbar,1alpha^2+(p/hbar)^2 =alphahbarpi,1p^2+hbar^2alpha^2,
que é uma distribuição de Lorentz centrada em p=0. Dele segue
lang<= prang<==0 e
lang<= p^2rang<= =integral-infty^inftyp^2,|Phi(p)|^2,dp =hbar^2alpha^2
Assim
De<a p = raizlang<= p^2rang<= - lang<= prang<=^2 =hbar,alpha

Passo 5

Concluímos que
De<a x = 12alpha, De<a p = hbar,alpha
Quando alpha aumenta, a função de onda fica mais concentrada em x, então De<a x diminui; por outro lado, a distribuição de momento se alarga, logo De<a p aumenta.

Resposta

(a) De<a x = tfrac12alpha, portanto cresce alpha De<a x diminui.
(b) De<a p = hbar,alpha, portanto cresce alpha De<a p aumenta.

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