Uma partícula é descrita por uma função de onda
, onde
e
são constantes reais positivas. Se o valor de
aumenta, qual é o efeito que isso tem sobre (a) a incerteza da partícula na posição e (b) a incerteza da partícula no momento linear? Explique suas respostas.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de onda unidimensional
com
,
reais, em geral definida para
, e pede o efeito de variar
sobre a incerteza em posição
e em momento
.
Conteúdo: mecânica quântica e princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver, vamos (i) normalizar , (ii) calcular
a partir de
e
, (iii) obter a função de onda no espaço de momento
por transformada de Fourier, e (iv) calcular
de
e
.
Conteúdo: mecânica quântica e princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver, vamos (i) normalizar
Passo 2
Normalização de
em
:
Logo
Passo 3
Cálculo de
. Primeiro
e
Portanto
isto é
Passo 4
Cálculo de
. A transformada de Fourier é
Logo a densidade no momento é
que é uma distribuição de Lorentz centrada em
. Dele segue
e
Assim
Passo 5
Concluímos que
Quando
aumenta, a função de onda fica mais concentrada em
, então
diminui; por outro lado, a distribuição de momento se alarga, logo
aumenta.
Resposta
(a)
, portanto cresce
⇒
diminui.
(b) , portanto cresce
⇒
aumenta.
(b)