Questão 01: Considere as matrizes A e A: A=[ccca & a & a a & b & b a & b & c], A=P A P^T, onde P é uma matriz de permutação dada por [e3, e2, e1] e ei: i=1, ldots, 3 é um vetor de zeros, exceto pela posição i que contém uma entrada 1. Assuma que qualquer par de valores em a, b, c sejam distintos e que 0 notina, b, c. Responda, sempre justificando.
  1. Empregando uma fatoração L U ou de Cholesky para A ou para A (a que você entender mais apropriada), apresente uma fatoração para A que revele seu posto, e que um dos fatores tenha pelo menos duas colunas distintas das colunas de uma matriz identidade de ordem 3. Indique claramente qual é o posto.
  2. É possível garantir que a matriz A admite uma fatoração do tipo A=M M^T, para alguma matriz M ?
  3. A matriz A admite uma fatoração do tipo A=Q Lambda Q^T onde Q é ortogonal e Lambda é uma matriz diagonal?
  4. A e A possuem os mesmos autovalores e autovetores?
  5. É possível estabelecer condições necessárias e suficientes sobre a, b, c de forma que A admita fatoração A=L L^T onde li i>0, i=1,2,3 ? Em caso positivo, quais são elas ? Em caso negativo, justifique a impossibilidade.

Passo 1

O enunciado dá e , com
ou seja é obtida trocando linha \leftrightarrow e coluna \leftrightarrow de . Precisamos um que revele o posto de e tenha um fator com pelo menos duas colunas não triviais, ver se sempre existe, se há decomposição ortogonal , comparar autovalores e autovetores de e , condições para existir com .

Passo 2

Fazemos sem pivô em . Primeiro, como , pivô . Eliminamos:
Como e , temos três pivôs não nulos, então .

Passo 3

Passando para , obtemos
logo
Note que em as colunas e são diferentes de colunas da identidade .

Passo 4

Para existir A=M,M^T com M real basta que A seja semidefinida positiva, pois
x^TA,x = |M^Tx|^2>=0forall x
Como a,b,c são livres de sinal, não há garantia geral de que A seja semidefinida positiva, então não se garante sempre tal fatoração.

Passo 5

Como A é real simétrica, sempre existe diagonalização ortogonal
A = Q,Lambda,Q^T,
pela teoria espectral.

Passo 6

Sendo A=P,A,P^T, A e A são similares e têm exatamente o mesmo conjunto de autovalores. Os autovetores são “os mesmos” até permutação: se Av=lambda v então A(Pv)=lambda (Pv).

Passo 7

Para com (Cholesky), é necessário e suficiente que os menores principais líderes de sejam positivos:
Portanto as condições equivalentes são
que em particular implicam

Resposta

. Um válido é
e .
. Não: existe só se for semidefinida positiva, o que não é garantido sem condições sobre .
. Sim: toda matriz real simétrica admite com ortogonal.
. Sim: e são similares via , logo compartilham autovalores; os autovetores de são imagens, por , dos de .
. Sim: para existir com é preciso e suficiente
isto é, .

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