Questão 02: A matriz
de posto incompleto foi fatorada na forma
, onde
,
e
. Responda verdadeiro ou falso, justificando.
-
para quaisquer valores de
(
inteiro) e
possuem os mesmos autovalores e autovetores.
-
para quaisquer valores inteiros de
possui
como autovalor.
- Se (
) é um autopar de
para
, então
.
- O sistema linear
admite solução sempre que
for uma combinação linear dos autovetores de
.
-
para qualquer autovalor
de
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz
com
,
e
. Logo
é simétrica e idempotente, pois
Da teoria de projetores ortogonais, os autovalores de
são
com multiplicidade
(espaço coluna de
) e
com multiplicidade
(o complemento ortogonal). Vamos usar essas propriedades e a condição de existência de solução
.
Passo 2
Afirmação 1: “
para quaisquer valores de
e
possuem os mesmos autovalores e autovetores.”
Como é idempotente, para todo inteiro
vale
Como
Logo os autovalores de
são os mesmos de
, e sendo
diagonalizável, mantém-se também o mesmo conjunto de autovetores. Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Afirmação 2: “
para quaisquer valores inteiros de
possui
como autovalor.”
Como já tem
(multiplicidade
), e
, fica claro que
continua sendo autovalor de
. Assim a afirmação é verdadeira.
Como
Passo 4
Afirmação 3: “Se
é um autopar de
para
, então
.”
O único autovalor não nulo de é
, e seus autovetores formam exatamente
. Logo qualquer
associado a
está em
. A afirmação é verdadeira.
O único autovalor não nulo de
Passo 5
Afirmação 4: “O sistema linear
admite solução sempre que
for uma combinação linear dos autovetores de
.”
Os autovetores de (inclusive os de
) formam uma base de
, de modo que qualquer
é combinação linear deles. Mas
só tem solução se e somente se
, ou seja, combinação apenas dos autovetores de
. Como a afirmação não faz essa distinção, ela é falsa.
Os autovetores de
Passo 6
Afirmação 5: “
para qualquer autovalor
de
.”
Para vale
, então a inclusão ocorre. Mas para
temos
, que não está contido em
(exceto o vetor nulo). Logo a afirmação é falsa.
Para
Resposta
- Verdadeiro
- Verdadeiro
- Verdadeiro
- Falso
- Falso