Questão 02: A matriz A de posto incompleto foi fatorada na forma A=Q Q^T, onde Q in R^m times n, 1<n<m e Q^T Q=In. Responda verdadeiro ou falso, justificando.
  1. A^k para quaisquer valores de k >= 2 ( k inteiro) e A possuem os mesmos autovalores e autovetores.
  2. A^k para quaisquer valores inteiros de k >= 1 possui lambda=0 como autovalor.
  3. Se ( lambda, x ) é um autopar de A para lambda neq 0, então x in C(Q).
  4. O sistema linear A x=b admite solução sempre que b for uma combinação linear dos autovetores de A.
  5. N(A-lambda I) subseteq C(Q) para qualquer autovalor lambda de A.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=Q,Q^T com QinR^mtimes n, 1<n<m e Q^TQ=In. Logo A é simétrica e idempotente, pois
A^2=(Q,Q^T)(Q,Q^T)=Q,(Q^TQ),Q^T=Q,In,Q^T=A
Da teoria de projetores ortogonais, os autovalores de A são lambda=1 com multiplicidade n (espaço coluna de Q) e lambda=0 com multiplicidade m-n (o complemento ortogonal). Vamos usar essas propriedades e a condição de existência de solução Ax=bLeftrightarrow binR(A).

Passo 2

Afirmação 1: “ A^k para quaisquer valores de k>=2 e A possuem os mesmos autovalores e autovetores.”
Como A é idempotente, para todo inteiro k>=1 vale
A^k=A
Logo os autovalores de A^k são os mesmos de A, e sendo A diagonalizável, mantém-se também o mesmo conjunto de autovetores. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação 2: “ A^k para quaisquer valores inteiros de k>=1 possui lambda=0 como autovalor.”
Como A já tem lambda=0 (multiplicidade m-n>0), e A^k=A, fica claro que lambda=0 continua sendo autovalor de A^k. Assim a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação 3: “Se (lambda,x) é um autopar de A para lambdaneq0, então xin C(Q).”
O único autovalor não nulo de A é lambda=1, e seus autovetores formam exatamente R(A)=C(Q). Logo qualquer x associado a lambda=1 está em C(Q). A afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação 4: “O sistema linear A,x=b admite solução sempre que b for uma combinação linear dos autovetores de A.”
Os autovetores de A (inclusive os de lambda=0) formam uma base de R^m, de modo que qualquer b é combinação linear deles. Mas Ax=b só tem solução se e somente se binR(A)=C(Q), ou seja, combinação apenas dos autovetores de lambda=1. Como a afirmação não faz essa distinção, ela é falsa.

Passo 6

Afirmação 5: “ N(A-lambda I)subseteq C(Q) para qualquer autovalor lambda de A.”
Para lambda=1 vale N(A-I)=R(A)=C(Q), então a inclusão ocorre. Mas para lambda=0 temos N(A)=R(A)^perp, que não está contido em C(Q) (exceto o vetor nulo). Logo a afirmação é falsa.

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Verdadeiro
  3. Verdadeiro
  4. Falso
  5. Falso

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