Questão 01: Determine o raio de convergência e intervalo de convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n-1 x^n n^3,

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potência sumn=1^infty(-1)^n-1n^3x^n. Isso é tema de séries de potências, e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois checar o comportamento nos extremos.

Passo 2

Para aplicar o teste da razão, considere o termo geral un = (-1)^n-1n^3x^n. Então
limntoinfty|un+1un| =limntoinfty(n+1)^3|x|^,n+1n^3|x|^n =limntoinfty(1+1n)^3|x| =|x|
Pelo teste da razão, a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Faltam os extremos. Em x=1 o termo geral vira (-1)^n-1n^3, que não tende a zero, logo diverge. Em x=-1 o termo geral é (-1)^n-1(-1)^nn^3=-n^3, que também não tende a zero, causando divergência. Portanto nenhum extremo é incluído.

Resposta

Raio de convergência: R = 1. Intervalo de convergência: (-1, 1).

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