Questão 01: Determine o raio de convergência e intervalo de convergência da série
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo envolvido é séries de potências, e vamos precisar do teste da razão para achar o raio e testes de convergência (Leibniz e comparação) nos extremos.
Passo 2
Aplicando o teste da razão para o termo geral , calculamos
A condição de convergência é |x|<1, logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
No extremo x=1, a série torna-se
sumn=2^infty (-1)^nn+1
Como é uma série alternada cujo termo em módulo 1n+1 é decrescente e tende a zero, ela converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.
Passo 4
No extremo x=-1, a série torna-se
sumn=2^infty (-1)^n(-1)^nn+1 = sumn=2^infty 1n+1,
que é uma série harmônica (a partir de n=2) e, portanto, diverge.
Passo 5
Combinar os resultados: o raio de convergência é R=1 e, analisando os extremos, a série converge apenas em x=1 e diverge em x=-1. Assim, o intervalo de convergência é (-1,1].
Resposta
Raio de convergência: R=1. Intervalo de convergência: (-1,1].