Questão 01: Determine o raio de convergência e intervalo de convergência da série
sumn=2^infty (-1)^n x^nn+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=2^infty (-1)^n x^nn+1. O conteúdo envolvido é séries de potências, e vamos precisar do teste da razão para achar o raio e testes de convergência (Leibniz e comparação) nos extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da razão para o termo geral an = (-1)^n x^nn+1, calculamos
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |x| n+1n+2 = |x|
A condição de convergência é |x|<1, logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

No extremo x=1, a série torna-se
sumn=2^infty (-1)^nn+1
Como é uma série alternada cujo termo em módulo 1n+1 é decrescente e tende a zero, ela converge condicionalmente pelo critério de Leibniz.

Passo 4

No extremo x=-1, a série torna-se
sumn=2^infty (-1)^n(-1)^nn+1 = sumn=2^infty 1n+1,
que é uma série harmônica (a partir de n=2) e, portanto, diverge.

Passo 5

Combinar os resultados: o raio de convergência é R=1 e, analisando os extremos, a série converge apenas em x=1 e diverge em x=-1. Assim, o intervalo de convergência é (-1,1].

Resposta

Raio de convergência: R=1. Intervalo de convergência: (-1,1].

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