Questão 02: Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência
f(x)=11-x^5,

Passo 1

O enunciado pede a representação em série de potências da função f(x)=11-x^5 e o intervalo de convergência. O tema é séries de potências, e vamos precisar usar a fórmula da série geométrica.

Passo 2

A teoria principal é que, para um número r com |r|<1, temos
11-r=sumn=0^inftyr^n

Passo 3

Aqui basta ver que na função dada o denominador tem a forma 1-x^5, ou seja, podemos identificar r=x^5. Logo,
f(x)=11-x^5=sumn=0^infty(x^5)^n=sumn=0^inftyx^5n
Escrevendo os primeiros termos, fica
f(x)=1 + x^5 + x^10 + x^15 + cdots

Passo 4

Para definir o intervalo de convergência, usamos a condição |r|<1, aqui |x^5|<1, o que equivale a |x|<1. Nos pontos x=1 ou x=-1 a série não converge (os termos não tendem a zero). Portanto, o intervalo de convergência é
-1

Resposta

A série de potências é sumn=0^inftyx^5n e o intervalo de convergência é -1.

Exercícios relacionados