Questão 02: Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência
,
Passo 1
O enunciado pede a representação em série de potências da função
e o intervalo de convergência. O tema é séries de potências, e vamos precisar usar a fórmula da série geométrica.
Passo 2
A teoria principal é que, para um número
com
, temos
Passo 3
Aqui basta ver que na função dada o denominador tem a forma
, ou seja, podemos identificar
. Logo,
Escrevendo os primeiros termos, fica
Passo 4
Para definir o intervalo de convergência, usamos a condição
, aqui
, o que equivale a
. Nos pontos
ou
a série não converge (os termos não tendem a zero). Portanto, o intervalo de convergência é
Resposta
A série de potências é
e o intervalo de convergência é
.