Considere a função f(x, y)=2 x^3-x y.
Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção d=(2,3). Esta direção é de descida ou de subida? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=2x^3 - xy no ponto (1,1) na direção d=(2,3). O conteúdo principal envolve o cálculo do gradiente de f e a formação do vetor unitário associado a d.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f. Para isso, usamos a definição de derivada parcial: a derivada em relação a x trata y como constante, e vice-versa. Assim,
partial fpartial x=6x^2 - y, partial fpartial y=-x

Passo 3

Em seguida, avaliamos o gradiente no ponto (1,1). Basta substituir x=1 e y=1 nas expressões das derivadas parciais:
nabla f(1,1)=l(6cdot1^2-1,,-1r)=(5,-1)

Passo 4

Agora determinamos o vetor unitário u na direção de d=(2,3). O módulo de d é raiz2^2+3^2=raiz13, logo
u=1raiz13(2,3)=l(2raiz13,3raiz13r)

Passo 5

A derivada direcional de f em (1,1) na direção u é o produto escalar entre nabla f(1,1) e u. Calculamos:
Duf(1,1)=nabla f(1,1)cdotu= (5,-1)cdotl(tfrac2raiz13,tfrac3raiz13r)=10-3raiz13=7raiz13
Como 7raiz13>0, concluímos que a direção d é de subida, pois o valor positivo indica aumento de f nessa direção.

Resposta

A derivada direcional é 7raiz13 e, como esse valor é positivo, a direção d=(2,3) é de subida.

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