Considere a função
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção
. Esta direção é de descida ou de subida? Justifique.
Calcule a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional de
no ponto
na direção
. O conteúdo principal envolve o cálculo do gradiente de
e a formação do vetor unitário associado a
.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de
. Para isso, usamos a definição de derivada parcial: a derivada em relação a
trata
como constante, e vice-versa. Assim,
Passo 3
Em seguida, avaliamos o gradiente no ponto
. Basta substituir
e
nas expressões das derivadas parciais:
Passo 4
Agora determinamos o vetor unitário
na direção de
. O módulo de
é
, logo
Passo 5
A derivada direcional de
em
na direção
é o produto escalar entre
e
. Calculamos:
Como
Resposta
A derivada direcional é
e, como esse valor é positivo, a direção
é de subida.