Determine e classifique os pontos críticos da função
.
Passo 1
Enunciado e conteúdo: A gente tem a função f(x,y)=x³+2y³−3x−24y, e o objetivo é achar os pontos críticos (onde ∇f=0) e classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando as derivadas parciais e o Hessiano.
Passo 2
Calcular derivadas parciais:
Passo 3
Resolver o sistema ∇f=0:
De vem
logo
e
.
De vem
logo
e
.
Assim temos quatro pontos críticos:
De
De
Assim temos quatro pontos críticos:
Passo 4
Calcular as segundas derivadas e o Hessiano:
O determinante do Hessiano é
Passo 5
Avaliar e classificar cada ponto:
Em (1,2): ,
,
⇒ mínimo local.
Em (-1,-2): ,
,
⇒ máximo local.
Em (1,-2): ,
,
⇒ ponto de sela.
Em (-1,2): ,
,
⇒ ponto de sela.
Em (1,2):
Em (-1,-2):
Em (1,-2):
Em (-1,2):
Resposta
Pontos críticos e classificação:
(1,2): mínimo local
(-1,-2): máximo local
(1,-2): ponto de sela
(-1,2): ponto de sela
(1,2): mínimo local
(-1,-2): máximo local
(1,-2): ponto de sela
(-1,2): ponto de sela