Determine e classifique os pontos críticos da função f(x, y)=x^3+2 y^3-3 x-24 y.

Passo 1

Enunciado e conteúdo: A gente tem a função f(x,y)=x³+2y³−3x−24y, e o objetivo é achar os pontos críticos (onde ∇f=0) e classificá-los (mínimo, máximo ou sela) usando as derivadas parciais e o Hessiano.

Passo 2

Calcular derivadas parciais:
fx=partial fpartial x=3x^2-3,
fy=partial fpartial y=6y^2-24

Passo 3

Resolver o sistema ∇f=0:
De fx=0 vem 3x^2-3=0 logo x^2=1 e x=pm1.
De fy=0 vem 6y^2-24=0 logo y^2=4 e y=pm2.
Assim temos quatro pontos críticos:
(1,2),;(1,-2),;(-1,2),;(-1,-2)

Passo 4

Calcular as segundas derivadas e o Hessiano:
fxx=6x, fyy=12y, fxy=0
O determinante do Hessiano é D=fxxfyy-fxy^2=72xy

Passo 5

Avaliar e classificar cada ponto:
Em (1,2): fxx=6>0, fyy=24>0, D=6·24>0 ⇒ mínimo local.
Em (-1,-2): fxx=-6<0, fyy=-24<0, D=(-6)(-24)>0 ⇒ máximo local.
Em (1,-2): fxx=6>0, fyy=-24<0, D<0 ⇒ ponto de sela.
Em (-1,2): fxx=-6<0, fyy=24>0, D<0 ⇒ ponto de sela.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(1,2): mínimo local
(-1,-2): máximo local
(1,-2): ponto de sela
(-1,2): ponto de sela

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