Questão 03: Determine a série de Maclaurin de f(x). (Assuma que f tem expansão em um série de potências. Não mostre que Rn(x) 0 ). Encontre também o raio de convergência.
f(x)=(1+x)^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão 3 juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = (1 + x)^{-3} $. A série de Maclaurin é uma maneira de expressar funções como uma soma de potências de $ x $ centradas em 0. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre séries de potências e como expandir funções usando binômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para $ (1 + x)^n $ é dada pela expansão binomial, que é:
(1 + x)^n
onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial generalizado, calculado por:
(1 + x)^n = sumk=0^infty binomnk x^k

Passo 3

No nosso caso, $ n = -3 $, então vamos substituir na fórmula:
n = -3
Agora, vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{-3}{k} $:
(1 + x)^-3 = sumk=0^infty binom-3k x^k

Passo 4

Simplificando o coeficiente:
binom-3k = (-1)^k (3 + k -1)!k!(3-1)! = (-1)^k (k + 2)!k! cdot 2! = (-1)^k (k + 2)(k + 1)2
Portanto,
binom-3k = (-1)^k (k + 2)(k + 1)2

Passo 5

Agora, substituímos de volta na série:
(1 + x)^-3 = sumk=0^infty (-1)^k (k + 2)(k + 1)2 x^k
Podemos simplificar um pouco mais:
(1 + x)^-3 = sumk=0^infty (k + 2)(k + 1)2 (-x)^k

Passo 6

Então, a série de Maclaurin de $ f(x) = (1 + x)^{-3} $ é:
f(x) = (1 + x)^-3

Passo 7

Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Sabemos que para a expansão binomial, a série converge quando $ |x| < 1 $.
Portanto, o raio de convergência $ R $ é 1.

Resposta

A série de Maclaurin de $ f(x) = (1 + x)^{-3} $ é:
f(x) = (1 + x)^-3
E o raio de convergência é $ R = 1 $.

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