Questão 03: Determine a série de Maclaurin de
. (Assuma que
tem expansão em um série de potências. Não mostre que
). Encontre também o raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão 3 juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = (1 + x)^{-3} $. A série de Maclaurin é uma maneira de expressar funções como uma soma de potências de $ x $ centradas em 0. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre séries de potências e como expandir funções usando binômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Maclaurin para $ (1 + x)^n $ é dada pela expansão binomial, que é:
onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial generalizado, calculado por:
Passo 3
No nosso caso, $ n = -3 $, então vamos substituir na fórmula:
Agora, vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{-3}{k} $:
Passo 4
Simplificando o coeficiente:
Portanto,
Passo 5
Agora, substituímos de volta na série:
Podemos simplificar um pouco mais:
Passo 6
Então, a série de Maclaurin de $ f(x) = (1 + x)^{-3} $ é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Sabemos que para a expansão binomial, a série converge quando $ |x| < 1 $.
Portanto, o raio de convergência $ R $ é 1.
Resposta
A série de Maclaurin de $ f(x) = (1 + x)^{-3} $ é:
E o raio de convergência é $ R = 1 $.