Questão 03. (3,0) Considere as transformações lineares T_{1}, T_{2}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T_{1}(x, y, z)= (x+y-z, x+z, x-y) e T_{2}(x, y, z)=(x+y-3 z, x+3 z, x-2 y-z). A transformação linear 2 T_{1}-T_{2} é bijetora?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear 2T_{1}-T_{2}\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é bijetora. Para isso, usamos que uma transformação linear em \mathbb{R}^{n} é bijetora se, e somente se, sua matriz no sistema canônico é invertível, ou seja, tem determinante diferente de zero.

Passo 2

Determinar as matrizes de T_{1} e T_{2} no sistema canônico. Como
T_{1}(x,y,z) = (x+y-z,\;x+z,\;x-y),
temos
A_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
De forma análoga,
T_{2}(x,y,z) = (x+y-3z,\;x+3z,\;x-2y-z)
implica
A_{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3\\\\ 1 & 0 & 3\\\\ 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular a matriz de 2T_{1}-T_{2} como
B = 2A_{1}-A_{2} = \begin{pmatrix} 2\cdot1-1 & 2\cdot1-1 & 2\cdot(-1)-(-3)\\\\ 2\cdot1-1 & 2\cdot0-0 & 2\cdot1-3\\\\ 2\cdot1-1 & 2\cdot(-1)-(-2) & 2\cdot0-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular o determinante de B. Por expansão pela primeira linha,
\det(B) =1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1\\\ 0 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & 0\end{pmatrix} =0 -2 +0 =-2.

Passo 5

Como \det(B) = -2 \neq 0, a matriz B é invertível e, portanto, a transformação linear 2T_{1}-T_{2} é bijetora.

Resposta

Sim. 2T_{1}-T_{2} é bijetora.

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