Questão 01. DISTRIBUIÇÃO POISSON ( \mathbf{2 , 5 0} pts) Numa refinaria chegam em média 2 navios petroleiros por dia, segundo uma distribuição de Poisson. As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto.
a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros a outro porto?
b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 98 \% dos dias?
Resposta: a) aprox. 14,30 \% b) n=5 navios ( aumento de 02 instalações)

Passo 1

O enunciado diz que o número de navios que chegam por dia é modelado por uma distribuição de Poisson com média \lambda=2. A refinaria atende até 3 navios; se chegarem mais de 3, o excesso é enviado a outro porto.
a) Queremos \Pr(\text{enviar a outro porto})=\Pr(X>3).
b) Desejamos encontrar o menor n tal que \Pr(X\le n)\ge0,98; então comparamos n à capacidade atual (3) para ver quantas instalações aumentar.

Passo 2

Para X\sim\text{Poisson}(\lambda) vale
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},
e a função acumulada é
\Pr(X\le k)=\sum_{i=0}^k e^{-\lambda}\frac{\lambda^i}{i!}.

Passo 3

Calculamos
\Pr(X>3)=1-\Pr(X\le3) =1-\sum_{k=0}^3 e^{-2}\frac{2^k}{k!} =1-e^{-2}\bigl(1+2+\tfrac{2^2}{2!}+\tfrac{2^3}{3!}\bigr).
Como e^{-2}\approx0,135335 e 1+2+2+1{,}3333=6{,}3333,
\Pr(X\le3)\approx0,135335\times6{,}3333\approx0,8570 \quad\Longrightarrow\quad \Pr(X>3)\approx1-0,8570=0,1430\;(14,30\%).

Passo 4

Para atender em pelo menos 98\% dos dias, achamos o menor n tal que \Pr(X\le n)\ge0,98. Já temos \Pr(X\le3)\approx0,8570.
Calculamos
\Pr(X\le4)=\Pr(X\le3)+e^{-2}\frac{2^4}{4!} \approx0,8570+0,0902=0,9472,
\Pr(X\le5)=\Pr(X\le4)+e^{-2}\frac{2^5}{5!} \approx0,9472+0,0361=0,9833.
Como \Pr(X\le4)<0,98 e \Pr(X\le5)\ge0,98, o n mínimo é 5.

Passo 5

A capacidade atual é 3 navios. Para suportar 5 navios, é preciso aumentar em 5-3=2 instalações.

Resposta

a) \approx14,30\%
b) n=5 navios (aumento de 2 instalações)

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