Questão 02. DISTRIBUIÇÃO NORMAL (2,50 pts) A vida útil das lâmpadas LED segue uma distribuição normal com média de 20.000 horas e desvio padrão de 1.500 horas.
a) Qual é a probabilidade de uma lâmpada durar entre 18.000 horas e 22.000 horas?
b) Para garantir que 95 \% das lâmpadas LED durem mais de um determinado número de horas, qual deve ser esse valor?
Resposta: a) aprox. 81,64 \% b) \mathbf{X}=17.533 horas

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil X das lâmpadas LED segue
X \sim N(\mu=20000,\;\sigma=1500).
Precisamos de duas coisas:
– (a) calcular P(18000 \le X \le 22000) usando padronização e tabela/sofware da normal padrão.
– (b) achar o valor a tal que 95\% das lâmpadas durem mais de a, isto é, P(X>a)=0,95.

Passo 2

Para (a) definimos os escores- z:
z_1 = \frac{18000 - 20000}{1500} = -\frac{2000}{1500} \approx -1,3333,
z_2 = \frac{22000 - 20000}{1500} = +\frac{2000}{1500} \approx +1,3333.
Assim
P(18000 \le X \le 22000) = P(z_1 \le Z \le z_2) = \Phi(1,3333) - \Phi(-1,3333).
Usando \Phi(-1,3333)=1-\Phi(1,3333) e tabela/sofware com \Phi(1,3333)\approx0,9082, obtemos
P(18000 \le X \le 22000) = 2\Phi(1,3333) - 1 \approx 2\cdot0,9082 - 1 = 0,8164\quad(81,64\%).

Passo 3

Para (b) queremos P(X>a)=0,95, logo
P(X\le a)=0,05.
Chamando z_{0,05} o ponto tal que \Phi(z_{0,05})=0,05, temos z_{0,05}\approx -1,645.
Então
a = \mu + z_{0,05}\,\sigma = 20000 + (-1,645)\times1500 = 20000 - 2467,5 \approx 17532,5\text{ horas}.
Arredondando, a\approx17533 horas.

Resposta

(a) 81,64\%
(b) X\approx17533 horas

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