Questão 03. INTERVALO DE CONFIANÇA -MÉDIA ( \mathbf{2 , 5 0} pts) Uma fábrica de componentes eletrônicos produz resistores com resistência média de 1000 ohms e desvio padrão de 50 ohms. Uma amostra de 100 resistores foi testada.
a) Determine um intervalo de confiança de 95 \% para a resistência média verdadeira.
b) Se a fábrica deseja garantir que o erro não seja superior a 10 ohms, quantos resistores devem ser testados?
Resposta: a) \mathrm{IC}=[990,2 ; 1009,8] b) \mathrm{n}=97 resistores

Passo 1

O enunciado trata de estimar o intervalo de confiança para a média da resistência de resistores, sabendo que a distribuição da população tem desvio padrão conhecido \sigma=50\\ \Omega. A fábrica afirma que a média é \mu=1000\\ \Omega. Foi testada uma amostra de n=100 resistores.
a) Queremos o intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira.
b) Desejamos achar o tamanho de amostra mínimo para que o erro máximo (meia-amplitude do intervalo) não exceda E=10\\ \Omega.

Passo 2

Para construir o intervalo de confiança de 95\% com \sigma conhecido, usamos a fórmula
\bar x \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \bar x=1000\\ \Omega, n=100 e, para nível 95\%, z_{\alpha/2}=z_{0,975}=1,96.
Calculemos a margem de erro:
E = 1,96 \times \frac{50}{\sqrt{100}} =1,96 \times 5 =9,8\\ \Omega.
Logo o intervalo de confiança é
1000 - 9,8 = 990,2 \quad\text{até}\quad 1000 + 9,8 = 1009,8.é

Passo 3

Para garantir que o erro não ultrapasse E=10\\ \Omega, usamos
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\Longrightarrow\quad n = \biggl(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\biggr)^{2}.
Substituindo z_{0,975}=1,96, \sigma=50 e E=10:
n = \Bigl(\frac{1,96\times50}{10}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{98}{10}\Bigr)^{2} =9,8^{2} =96,04.
Como n deve ser inteiro e suficiente para atingir o erro, arredondamos para cima:
n = 97.

Resposta

(a) \mathrm{IC} = [990,2 \;;\; 1009,8]\\ \Omega
(b) n = 97 resistores

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