Nos problemas 31-36, determine a forma de uma solução particular para a equação diferencial. Não resolva.
y^prime prime+y=sen t+t cos t+10 t

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'' + y = sin t + tcos t + 10,t
e pede apenas a forma de uma solução particular, sem resolver de fato.
O homogêneo associado
y'' + y = 0
tem soluções cos t e sin t. Usaremos o método dos coeficientes a determinar, propondo um ansatz para cada termo do segundo membro e somando-os ao final.

Passo 2

Para o termo sin t há ressonância de ordem 1 (pois sin t é solução do homogêneo). Sem ressonância usaríamos Acos t + Bsin t, mas multiplicamos por t. Logo
yp1(t) = tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 3

Para o termo tcos t (polinômio de grau 1 vezes cos t) o ansatz padrão seria
(C,t + D)cos t + (E,t + F)sin t
Como há ressonância de ordem 1 (novamente cos t,sin t são soluções do homogêneo), multiplicamos tudo por t, obtendo
yp2(t) = l(Ct^2 + D,tr)cos t + l(E t^2 + F,tr)sin t

Passo 4

Para o termo puramente polinomial 10,t (grau 1) não há ressonância, então usamos
yp3(t) = G,t + H

Passo 5

A solução particular completa é
yp(t) = yp1(t) + yp2(t) + yp3(t) = tl(Acos t + Bsin tr) + (C t^2 + D,t)cos t + (E t^2 + F,t)sin t + G,t + H

Resposta

Uma forma mais enxuta do ansatz é
yp(t) = (a,t^2 + b,t)cos t + (c,t^2 + d,t)sin t + e,t + f

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