Questão 01) a) Escrever a equação de conservação da carga elétrica na forma local.
b) Mostrar como essa equação pode ser deduzida a partir das equações de MaxwellAmpère e Maxwell-Gauss.
c) Considere uma região do espaço onde o deslocamento elétrico, em coordenadas esféricas, tem a seguinte expressão:
\vec{D}=D_{0} \operatorname{sen}(\omega t) \frac{r}{R}(\hat{r}+\theta \operatorname{sen} \varphi \hat{\theta})
onde \quad D_{0}, \quad \omega e R são constantes.
Determinar as expressões da densidade de cargas livres e do divergente da densidade de corrente de condução.
(3 pontos)

Passo 1

O enunciado envolve o balanço de carga elétrica no domínio local, que é dado pela chamada equação da continuidade. Vamos usar as equações de Maxwell–Ampère (com corrente de deslocamento) e Maxwell–Gauss para deduzir essa equação, e depois aplicar isso a um campo \vec D dado em coordenadas esféricas.

Passo 2

A forma local da conservação de carga é a equação da continuidade, que relaciona a taxa de variação da densidade de carga livre \rho com a divergência da densidade de corrente de condução \vec J:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot\!\vec J \;=\; 0.

Passo 3

Para deduzir essa equação a partir de Maxwell–Ampère e Maxwell–Gauss, seguimos:
\nabla\times\vec H \;=\;\vec J + \frac{\partial \vec D}{\partial t} \quad\text{(Ampère–Maxwell)},è
aplicamos divergência em ambos os lados:
\nabla\!\cdot(\nabla\times\vec H) =\nabla\!\cdot\vec J \;+\;\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\!\cdot\vec D).
Como \nabla\!\cdot(\nabla\times\vec H)=0 e, pela lei de Gauss, \nabla\!\cdot\vec D=\rho, obtemos
0 = \nabla\!\cdot\vec J + \frac{\partial \rho}{\partial t} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\!\cdot\vec J = 0.

Passo 4

Agora, seja
\vec D = D_{0}\,\sin(\omega t)\,\frac{r}{R}\,\bigl(\hat r + \theta\sin\varphi\,\hat\theta\bigr),
queremos a densidade de carga livre \rho = \nabla\!\cdot\vec D. Em coordenadas esféricas:
\nabla\!\cdot\vec D = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}D_{r}\bigr) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,D_{\theta}\bigr) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi}.
Aqui D_{r}=D_{0}\sin(\omega t)\,\tfrac{r}{R}, D_{\theta}=D_{0}\sin(\omega t)\,\tfrac{r}{R}\,\theta\sin\varphi e D_{\varphi}=0. Calculando cada termo:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}D_{r}\bigr) = D_{0}\sin(\omega t)\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(\frac{r^{3}}{R}\Bigr) = 3\,\frac{D_{0}}{R}\sin(\omega t),
\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta\,D_{\theta}\bigr) = \frac{D_{0}\sin(\omega t)}{r\sin\theta}\,\frac{r}{R}\,\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\theta\sin\theta\sin\varphi\bigr) = \frac{D_{0}}{R}\sin(\omega t)\,\Bigl(1+\theta\cot\theta\Bigr)\sin\varphi.
Somando,
\rho = \nabla\!\cdot\vec D = \frac{D_{0}}{R}\sin(\omega t)\,\Bigl[3 + \bigl(1+\theta\cot\theta\bigr)\sin\varphi\Bigr].

Passo 5

Pela continuidade, a divergência da corrente de condução é
\nabla\!\cdot\vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}\!\Bigl[\tfrac{D_{0}}{R}\sin(\omega t)\,\bigl(3 + (1+\theta\cot\theta)\sin\varphi\bigr)\Bigr] = -\frac{D_{0}\,\omega}{R}\cos(\omega t)\,\Bigl[3 + \bigl(1+\theta\cot\theta\bigr)\sin\varphi\Bigr].

Resposta

Densidade de carga livre:
\rho = \frac{D_{0}}{R}\,\sin(\omega t)\,\Bigl[3 + \bigl(1+\theta\cot\theta\bigr)\sin\varphi\Bigr].
Divergência da densidade de corrente de condução:
\nabla\!\cdot\vec J = -\frac{D_{0}\,\omega}{R}\,\cos(\omega t)\,\Bigl[3 + \bigl(1+\theta\cot\theta\bigr)\sin\varphi\Bigr].

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