Questão 01) a) Escrever a equação de conservação da carga elétrica na forma local.
b) Mostrar como essa equação pode ser deduzida a partir das equações de MaxwellAmpère e Maxwell-Gauss.
c) Considere uma região do espaço onde o deslocamento elétrico, em coordenadas esféricas, tem a seguinte expressão:
onde
e
são constantes.
Determinar as expressões da densidade de cargas livres e do divergente da densidade de corrente de condução.
(3 pontos)
b) Mostrar como essa equação pode ser deduzida a partir das equações de MaxwellAmpère e Maxwell-Gauss.
c) Considere uma região do espaço onde o deslocamento elétrico, em coordenadas esféricas, tem a seguinte expressão:
Determinar as expressões da densidade de cargas livres e do divergente da densidade de corrente de condução.
(3 pontos)
Passo 1
O enunciado envolve o balanço de carga elétrica no domínio local, que é dado pela chamada equação da continuidade. Vamos usar as equações de Maxwell–Ampère (com corrente de deslocamento) e Maxwell–Gauss para deduzir essa equação, e depois aplicar isso a um campo
dado em coordenadas esféricas.
Passo 2
A forma local da conservação de carga é a equação da continuidade, que relaciona a taxa de variação da densidade de carga livre
com a divergência da densidade de corrente de condução
:
Passo 3
Para deduzir essa equação a partir de Maxwell–Ampère e Maxwell–Gauss, seguimos:
aplicamos divergência em ambos os lados:
Como
e, pela lei de Gauss,
, obtemos
Passo 4
Agora, seja
queremos a densidade de carga livre
. Em coordenadas esféricas:
Aqui
,
e
. Calculando cada termo:
Somando,
Passo 5
Pela continuidade, a divergência da corrente de condução é
Resposta
Densidade de carga livre:
Divergência da densidade de corrente de condução: