Questão-01. Identifique as afirmações verdadeiras e as falsas com (V) ou (F).
a) ( ) Se as matrizes A e B são tais que
ter
e
b) ( ) Se a
é não nulo então as matrizes A e B são inversíveis
c) ( ) Toda matriz simétrica é ortogonal
d) ( ) Toda matriz ortogonal é simétrica
e) ( ) Para toda matriz A quadrada tem-se que
f) ( ) Se A é uma matriz nilpotente então
.
g) ( ) Para toda matriz quadrada
para todo numero real
.
h) ( ) Para toda matriz quadrada A tem-se que
.
i) ( ) Se A é uma matriz quadrada de ordem
tal que
então
.
j) ( ) Todo sistema de equações lineares cujo número de incógnitas é maior que o número de equações, é compatível indeterminado.
a) ( ) Se as matrizes A e B são tais que
b) ( ) Se a
c) ( ) Toda matriz simétrica é ortogonal
d) ( ) Toda matriz ortogonal é simétrica
e) ( ) Para toda matriz A quadrada tem-se que
f) ( ) Se A é uma matriz nilpotente então
g) ( ) Para toda matriz quadrada
h) ( ) Para toda matriz quadrada A tem-se que
i) ( ) Se A é uma matriz quadrada de ordem
j) ( ) Todo sistema de equações lineares cujo número de incógnitas é maior que o número de equações, é compatível indeterminado.
Passo 1
O enunciado pede para identificar, com
ou
, se cada uma das afirmações (a) até (j) é verdadeira ou falsa. As informações relevantes que já temos no próprio enunciado (e que usarei ao longo da resolução) são as declarações sobre determinantes, matrizes transpostas, simétricas, ortogonais, nilpotentes, escalamento por escalar e compatibilidade de sistemas lineares. Vou tratar cada afirmação separadamente, explicando a teoria necessária e, quando for útil, dando contraexemplos.
Passo 2
a) Afirmação: “Se as matrizes
e
são tais que
devemos ter
e
.”
Conceito/teorema usado: para matrizes quadradas de mesma ordem vale a propriedade
Explicação didática: o determinante de um produto é o produto dos determinantes. Isso é uma propriedade básica dos determinantes. Se
então
. Um produto de dois números é diferente de zero exatamente quando cada fator é diferente de zero. Logo
e
. Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 3
b) Afirmação: “Se
é não nulo então as matrizes
e
são inversíveis.”
Conceito/teorema usado: uma matriz quadrada
é inversível se, e só se,
. Do passo anterior sabemos que
implica
e
. Portanto cada uma tem determinante não nulo, então cada uma é inversível. Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 4
c) Afirmação: “Toda matriz simétrica é ortogonal.”
Definições:
- Matriz simétrica:
. - Matriz ortogonal:
(equivalentemente ).
Explicação didática: simetria não impõe que
. Basta um contraexemplo simples. Tome
Aqui
(é simétrica). Calcule
Logo
não é ortogonal. Conclusão: a afirmação é falsa.]
Passo 5
d) Afirmação: “Toda matriz ortogonal é simétrica.”
Lembrete: matrizes ortogonais satisfazem
, ou seja
. Para ser simétrica precisa que
, isto é
, ou seja
. Nem toda ortogonal satisfaz
. Contraexemplo padrão: rotação no plano
para
. Essa
é ortogonal (porque
) mas não é simétrica pois
quando
. Conclusão: a afirmação é falsa.]
Passo 6
e) Afirmação: “Para toda matriz
quadrada tem-se que
.”
Propriedade usada:
para quaisquer matrizes compatíveis. Tomando
e
obtemos
Isto mostra que
é sempre uma matriz simétrica. Explicação intuitiva: o produto
resulta em uma matriz cujos elementos satisfazem
. Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 7
f) Afirmação: “Se
é uma matriz nilpotente então
.”
Definição:
é nilpotente se existe inteiro
tal que
(matriz nula).
Raciocínio: tomando determinante em ambos os lados,
Mas
. Assim
, o que implica
. Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 8
g) Afirmação: “Para toda matriz quadrada
tem-se que
para todo número real
.”
Explicação: se
é
, multiplicar a matriz inteira por
é equivalente a multiplicar cada uma das
linhas por
. O determinante é linear em cada linha, por isso cada linha fornece um fator
, totalizando um fator
. Logo
Exemplo rápido: para
,
. Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 9
h) Afirmação: “Para toda matriz quadrada
tem-se que
.”
Isto afirma que toda matriz comuta com sua transposta. Não é verdade em geral. Contraexemplo simples (
):
Calcule
enquanto
Os dois produtos são distintos, logo nem sempre
. Conclusão: a afirmação é falsa.]
Passo 10
i) Afirmação: “Se
é uma matriz quadrada de ordem
tal que
então
.”
Contexto: matrizes com
são chamadas de antissimétricas (skew-symmetric). Tomando determinante em
obtém-se
Mas
e
. Portanto
Subtraindo os dois lados,
. Se
é ímpar então
e isso dá
. Se
é par então
e a igualdade é trivial, não obrigando
. De fato existe exemplo em
:
que satisfaz
e
. Portanto a afirmação universal de que
para todo
é falsa; só é garantida quando
é ímpar. Conclusão: a afirmação (como escrita) é falsa.]
Passo 11
j) Afirmação: “Todo sistema de equações lineares cujo número de incógnitas é maior que o número de equações, é compatível indeterminado.”
Explicação didática: ter número de incógnitas maior que o de equações (sistema subdeterminado) costuma levar a infinitas soluções quando o sistema é compatível, mas não garante compatibilidade. Um sistema é compatível se o vetor dos termos independentes pertence ao espaço coluna da matriz dos coeficientes (ou equivalentemente se a classificação pelo posto satisfaz
). Contraexemplo simples e direto de sistema com
incógnitas e
equação inconsistente:
Aqui há mais incógnitas do que equações (2 > 1), mas a equação é impossível, portanto o sistema é incompatível. Conclusão: a afirmação é falsa.
Resposta
a) (V)
b) (V)
c) (F)
d) (F)
e) (V)
f) (V)
g) (V)
h) (F)
i) (F)
j) (F)
b) (V)
c) (F)
d) (F)
e) (V)
f) (V)
g) (V)
h) (F)
i) (F)
j) (F)