Questão-01. Identifique as afirmações verdadeiras e as falsas com (V) ou (F).
a) ( ) Se as matrizes A e B são tais que \operatorname{det}(A B) \neq 0 \operatorname{devemos} ter \operatorname{det}(A) \neq 0 e \operatorname{det}(B) \neq 0
b) ( ) Se a \operatorname{det}(\mathrm{AB}) é não nulo então as matrizes A e B são inversíveis
c) ( ) Toda matriz simétrica é ortogonal
d) ( ) Toda matriz ortogonal é simétrica
e) ( ) Para toda matriz A quadrada tem-se que \left(A^{T} A\right)^{T}=A^{T} A
f) ( ) Se A é uma matriz nilpotente então \operatorname{det}(\mathrm{A})=0.
g) ( ) Para toda matriz quadrada \mathrm{A} \operatorname{det}(\alpha A)=\alpha^{n} \cdot \operatorname{det}(A) para todo numero real \alpha.
h) ( ) Para toda matriz quadrada A tem-se que A^{T} A=A A^{T}.
i) ( ) Se A é uma matriz quadrada de ordem \mathbf{n} tal que A^{T}=-A então \operatorname{det}(A)=0.
j) ( ) Todo sistema de equações lineares cujo número de incógnitas é maior que o número de equações, é compatível indeterminado.

Passo 1

O enunciado pede para identificar, com (V) ou (F), se cada uma das afirmações (a) até (j) é verdadeira ou falsa. As informações relevantes que já temos no próprio enunciado (e que usarei ao longo da resolução) são as declarações sobre determinantes, matrizes transpostas, simétricas, ortogonais, nilpotentes, escalamento por escalar e compatibilidade de sistemas lineares. Vou tratar cada afirmação separadamente, explicando a teoria necessária e, quando for útil, dando contraexemplos.

Passo 2

a) Afirmação: “Se as matrizes A e B são tais que \det(AB)\neq 0 devemos ter \det(A)\neq 0 e \det(B)\neq 0.”
Conceito/teorema usado: para matrizes quadradas de mesma ordem vale a propriedade
\det(AB)=\det(A)\det(B).
Explicação didática: o determinante de um produto é o produto dos determinantes. Isso é uma propriedade básica dos determinantes. Se \det(AB)\neq 0 então \det(A)\det(B)\neq 0. Um produto de dois números é diferente de zero exatamente quando cada fator é diferente de zero. Logo \det(A)\neq 0 e \det(B)\neq 0. Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 3

b) Afirmação: “Se \det(AB) é não nulo então as matrizes A e B são inversíveis.”
Conceito/teorema usado: uma matriz quadrada M é inversível se, e só se, \det(M)\neq 0. Do passo anterior sabemos que \det(AB)\neq0 implica \det(A)\neq0 e \det(B)\neq0. Portanto cada uma tem determinante não nulo, então cada uma é inversível. Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 4

c) Afirmação: “Toda matriz simétrica é ortogonal.”
Definições:
  • Matriz simétrica: A^T=A.
  • Matriz ortogonal: A^T A=I (equivalentemente A^{-1}=A^T).
Explicação didática: simetria não impõe que A^T A=I. Basta um contraexemplo simples. Tome
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Aqui A^T=A (é simétrica). Calcule
A^T A = A A = \begin{pmatrix}4 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\neq I.
Logo A não é ortogonal. Conclusão: a afirmação é falsa.]

Passo 5

d) Afirmação: “Toda matriz ortogonal é simétrica.”
Lembrete: matrizes ortogonais satisfazem A^T A=I, ou seja A^{-1}=A^T. Para ser simétrica precisa que A^T=A, isto é A=A^{-1}, ou seja A^2=I. Nem toda ortogonal satisfaz A^2=I. Contraexemplo padrão: rotação no plano
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
para \theta\neq 0,\pi. Essa R(\theta) é ortogonal (porque R(\theta)^T R(\theta)=I) mas não é simétrica pois R(\theta)^T\neq R(\theta) quando \sin\theta\neq0. Conclusão: a afirmação é falsa.]

Passo 6

e) Afirmação: “Para toda matriz A quadrada tem-se que \left(A^{T} A\right)^{T}=A^{T} A.”
Propriedade usada: (XY)^T=Y^T X^T para quaisquer matrizes compatíveis. Tomando X=A^T e Y=A obtemos
\left(A^{T} A\right)^{T}=A^{T} A.
Isto mostra que A^T A é sempre uma matriz simétrica. Explicação intuitiva: o produto A^T A resulta em uma matriz cujos elementos satisfazem (A^T A)_{ij}=(A^T A)_{ji}. Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 7

f) Afirmação: “Se A é uma matriz nilpotente então \det(A)=0.”
Definição: A é nilpotente se existe inteiro k\ge 1 tal que A^{k}=0 (matriz nula).
Raciocínio: tomando determinante em ambos os lados,
\det(A^k)=\det(0)=0.
Mas \det(A^k)=\det(A)^k. Assim \det(A)^k=0, o que implica \det(A)=0. Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 8

g) Afirmação: “Para toda matriz quadrada A tem-se que \det(\alpha A)=\alpha^{n}\cdot\det(A) para todo número real \alpha.”
Explicação: se A é n\times n, multiplicar a matriz inteira por \alpha é equivalente a multiplicar cada uma das n linhas por \alpha. O determinante é linear em cada linha, por isso cada linha fornece um fator \alpha, totalizando um fator \alpha^n. Logo
\det(\alpha A)=\alpha^n\det(A).
Exemplo rápido: para n=2, \det(\alpha A)=\alpha^2\det(A). Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 9

h) Afirmação: “Para toda matriz quadrada A tem-se que A^{T} A=A A^{T}.”
Isto afirma que toda matriz comuta com sua transposta. Não é verdade em geral. Contraexemplo simples ( 2\times2):
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Calcule
A^{T}A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix},
enquanto
AA^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 2\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
Os dois produtos são distintos, logo nem sempre A^T A= A A^T. Conclusão: a afirmação é falsa.]

Passo 10

i) Afirmação: “Se A é uma matriz quadrada de ordem n tal que A^{T}=-A então \det(A)=0.”
Contexto: matrizes com A^T=-A são chamadas de antissimétricas (skew-symmetric). Tomando determinante em A^T=-A obtém-se
\det(A^T)=\det(-A).
Mas \det(A^T)=\det(A) e \det(-A)=(-1)^n\det(A). Portanto
\det(A)=(-1)^n\det(A).
Subtraindo os dois lados, [1-(-1)^n]\det(A)=0. Se n é ímpar então (-1)^n=-1 e isso dá 2\det(A)=0\Rightarrow \det(A)=0. Se n é par então (-1)^n=1 e a igualdade é trivial, não obrigando \det(A)=0. De fato existe exemplo em n=2:
A=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},
que satisfaz A^T=-A e \det(A)=1\neq 0. Portanto a afirmação universal de que \det(A)=0 para todo n é falsa; só é garantida quando n é ímpar. Conclusão: a afirmação (como escrita) é falsa.]

Passo 11

j) Afirmação: “Todo sistema de equações lineares cujo número de incógnitas é maior que o número de equações, é compatível indeterminado.”
Explicação didática: ter número de incógnitas maior que o de equações (sistema subdeterminado) costuma levar a infinitas soluções quando o sistema é compatível, mas não garante compatibilidade. Um sistema é compatível se o vetor dos termos independentes pertence ao espaço coluna da matriz dos coeficientes (ou equivalentemente se a classificação pelo posto satisfaz \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])). Contraexemplo simples e direto de sistema com 2 incógnitas e 1 equação inconsistente:
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y = 1 \end{cases}
Aqui há mais incógnitas do que equações (2 > 1), mas a equação é impossível, portanto o sistema é incompatível. Conclusão: a afirmação é falsa.

Resposta

a) (V)
b) (V)
c) (F)
d) (F)
e) (V)
f) (V)
g) (V)
h) (F)
i) (F)
j) (F)

Exercícios relacionados