Questão-02. Verdadeiro (V) ou Falso (F). Justifique sua resposta.
Considere o sistema linear A X=B onde A \in M_{m \times n}(R), X \in R^{n} e B \in R^{m}
a) ( ) Se m<n o sistema linear sempre tem infinitas soluções
b) ( ) Se m=n, A é invertível
c) ( ) Se o posto de A é menor do que n então o sistema não tem solução
d) ( ) Se o posto de A é igual a n então o sistema tem solução única
e) ( ) Se o sistema homogêneo associado tem solução única, então o sistema original também tem solução única
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear A X = B com A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}), X\in\mathbb{R}^n e B\in\mathbb{R}^m. Pede-se avaliar (V)erdadeiro ou (F)also para cinco afirmações e justificar.
As cinco afirmações são:
a) Se m<n o sistema linear sempre tem infinitas soluções.
b) Se m=n, A é invertível.
c) Se o posto de A é menor do que n então o sistema não tem solução.
d) Se o posto de A é igual a n então o sistema tem solução única.
e) Se o sistema homogêneo associado tem solução única, então o sistema original também tem solução única.
Passo 2
Vou recordar conceitos essenciais que vou usar (explicando devagar, como se estivéssemos estudando juntos).
O posto (ou rank) de A, escrito \operatorname{rank}(A), é a dimensão do espaço gerado pelas colunas de A. Vale sempre \operatorname{rank}(A)\le\min(m,n).
O sistema A X=B é consistente (tem pelo menos uma solução) exatamente quando a matriz aumentada [A\mid B] tem o mesmo posto que A:
\text{o sistema tem solução} \iff \operatorname{rank}([A\mid B])=\operatorname{rank}(A).
Se \operatorname{rank}([A\mid B])>\operatorname{rank}(A) então o sistema é inconsistente (sem solução).
Se o sistema é consistente e \operatorname{rank}(A)=r, então o número de variáveis livres é n-r. Portanto:
Se for consistente e r=n então não há variáveis livres e a solução (quando existe) é única.
Se for consistente e r<n então existem n-r>0 variáveis livres e há infinitas soluções.
Para matriz quadrada A de ordem n: A é invertível \iff \operatorname{rank}(A)=n (equivalente a \det(A)\neq0).
Com essas regras claras, vamos analisar cada afirmação com exemplos concretos quando necessário.
Passo 3
Análise da afirmação (a): “Se m<n o sistema linear sempre tem infinitas soluções.”
Comentário didático: m<n significa que há menos equações do que incógnitas (sistema subdeterminado). Se o sistema for consistente e \operatorname{rank}(A)=r, então r\le m < n, então r<n e haverá n-r>0 variáveis livres, portanto infinitas soluções nesse caso. Mas a palavra “sempre” exige que não exista nenhum caso contrário.
Contraexemplo que derruba o “sempre”: escolha m=1, n=2, A=[0\\\ 0] e B=[1]. A equação é 0\cdot x_1+0\cdot x_2=1, impossível. Aqui m<n e o sistema NÃO tem solução (inconsistente).
Conclusão: a afirmação é falsa. Explicação curta: quando consistente com certeza dá infinitas soluções, mas há casos (por exemplo linha nula com b\neq0) em que o sistema não tem solução.
Passo 4
Análise da afirmação (b): “Se m=n, A é invertível.”
Comentário didático: m=n só diz que A é quadrada. Nem toda matriz quadrada é invertível: invertibilidade exige posto máximo \operatorname{rank}(A)=n (ou \det(A)\neq0).
Contraexemplo: para n=2,
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 4\end{pmatrix}.
Aqui m=n=2 mas as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes, \det(A)=1\cdot4-2\cdot2=0,-logo A não é invertível.
Conclusão: a afirmação é falsa. Ser quadrada é condição necessária para invertibilidade, mas não suficiente; é preciso além disso ter posto n.]
Passo 5
Análise da afirmação (c): “Se o posto de A é menor do que n então o sistema não tem solução.”
Comentário didático: \operatorname{rank}(A)<n significa que as colunas de A são linearmente dependentes e, para o homogêneo A X=0, existem soluções não-triviais (infinitas). Mas para o sistema não-homogêneo a existência de solução depende de B: se \operatorname{rank}([A\mid B])=\operatorname{rank}(A) então o sistema é consistente e terá infinitas soluções (porque n-r>0). Só dará “sem solução” quando \operatorname{rank}([A\mid B])>\operatorname{rank}(A).
Contraexemplo que mostra falsidade: tome m=1, n=3,
A=[1\\\ 0\\\ 0],\qquad B=[1].
Aqui \operatorname{rank}(A)=1<3, e a equação x_1=1 tem infinitas soluções (variais x_2,x_3 livres).
Conclusão: a afirmação é falsa. Posto menor que n não implica ausência de solução; implica possibilidade de infinitas soluções quando consistente.
Passo 6
Análise da afirmação (d): “Se o posto de A é igual a n então o sistema tem solução única.”
Comentário didático: \operatorname{rank}(A)=n significa que as colunas de A são linearmente independentes (posto máximo nas colunas). Isso implica que o núcleo de A é trivial, então se existir solução ela é única. O ponto crucial: \operatorname{rank}(A)=n não garante que B esteja no espaço coluna de A; pode haver B fora desse espaço e aí o sistema é inconsistente (sem solução).
Aqui \operatorname{rank}(A)=2=n, o sistema homogêneo tem só a solução trivial, mas B não está na coluna de A (a terceira coordenada de qualquer combinação linear das colunas é sempre 0), logo não há solução para A X=B.
Conclusão: a afirmação é falsa. A correção é: se \operatorname{rank}(A)=n e o sistema for consistente então a solução é única; sem consistência não há solução.]
Passo 7
Análise da afirmação (e): “Se o sistema homogêneo associado tem solução única, então o sistema original também tem solução única.”
Comentário didático: “o sistema homogêneo tem solução única” significa que A X=0 tem apenas a solução X=0. Isso equivale a dizer \operatorname{rank}(A)=n (núcleo trivial). Como expliquei no passo anterior, isso garante que, se existir alguma solução do não-homogêneo A X=B, essa solução será única (não há vetor não-nulo no núcleo para gerar outras soluções). Porém, nada garante que exista solução: B pode estar fora da coluna de A.
Contraexemplo (o mesmo tipo do passo anterior): com
o homogêneo tem única solução, mas o sistema original é inconsistente (nenhuma solução).
Conclusão: a afirmação é falsa. O correto é: se o homogêneo tem única solução, então o sistema original pode ter no máximo uma solução; para garantir que tem exatamente uma é preciso também que o sistema seja consistente.]
Passo 8
Resumo pedagógico rápido (para fixar):
Consistência depende de \operatorname{rank}([A\mid B])=\operatorname{rank}(A).
Unicidade da solução ocorre quando \operatorname{rank}(A)=n (se existir solução).
Ser quadrado (m=n) não basta para ser invertível; é preciso posto n.
Ter menos equações do que incógnitas (m<n) normalmente dá infinitas soluções quando consistente, mas pode ser inconsistente.