Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se calcular o limite
. - A expressão é uma função racional cujo numerador é
e o denominador é . - A pergunta implícita é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor?
Passo 2
Tentativa direta de substituição (teste inicial): calcular numerador e denominador em
.
- Numerador:
- Denominador:
Logo obtemos a forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta e precisamos manipular algebricamente a expressão para remover a indeterminação.
Passo 3
Teoremas de limite que vamos usar (explicados de forma simples):
- Teorema da continuidade dos polinômios: polinômios são funções contínuas em todo ponto; portanto, o limite quando
de um polinômio é apenas o valor do polinômio em . Em símbolos: se é polinômio, . - Teorema do quociente (ou regra do limite para razão): se
e com , então . - Observação útil: se duas funções coincidem em todo um intervalo com exceção possivelmente do ponto
, então têm o mesmo limite quando . Assim, se conseguimos fatorar e simplificar a expressão cancelando um fator que causa a indeterminação, podemos calcular o limite da função simplificada por substituição direta.
Passo 4
Fatorar o numerador
: usar a fórmula quadrática para encontrar raízes. Para
as raízes são
. Aqui
,
,
.
- Discriminante:
- Raízes:
Assim as raízes são e .
Portanto o polinômio se fatoriza como
Passo 5
Fatorar o denominador
: já vimos que
é raiz (pois ao substituir dá zero), logo
é um fator. Fazemos divisão sintética para obter o quociente. Coeficientes:
. Usando
:
- Trazer
para baixo. Multiplicar por dá . Somar a resulta . Multiplicar por dá . Somar a resulta . Multiplicar por dá . Somar a resulta (resto).
Logo o quociente é
e o resto é
. Assim
Passo 6
Simplificação da expressão original: como numerador e denominador têm o fator comum
, para
podemos cancelar esse fator. Escrevemos
Pelo fato citado antes (duas funções que coincidem em todo vizinho de
exceto possivelmente em
têm o mesmo limite), temos
Agora a indeterminação foi removida, porque ao substituir
na nova expressão o denominador não é zero (ver passo seguinte).
Passo 7
Avaliar o limite da função simplificada usando continuidade dos polinômios (substituição direta):
- Numerador em
: - Denominador em
:
Portanto
Resposta
-1