Encontre o limite e, quando aplicável, indique os teoremas de limite usados.
lim _{x \rightarrow-1} \frac{2 x^{2}-x-3}{x^{3}+2 x^{2}+6 x+5}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to -1} \frac{2x^{2}-x-3}{x^{3}+2x^{2}+6x+5}.
  • A expressão é uma função racional cujo numerador é 2x^{2}-x-3 e o denominador é x^{3}+2x^{2}+6x+5.
  • A pergunta implícita é: esse limite existe? Se sim, qual é o seu valor?

Passo 2

Tentativa direta de substituição (teste inicial): calcular numerador e denominador em x=-1.
  • Numerador: 2(-1)^{2}-(-1)-3 = 2\cdot1 +1 -3 = 0.
  • Denominador: (-1)^{3}+2(-1)^{2}+6(-1)+5 = -1 +2 -6 +5 = 0.
    Logo obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite por substituição direta e precisamos manipular algebricamente a expressão para remover a indeterminação.

Passo 3

Teoremas de limite que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Teorema da continuidade dos polinômios: polinômios são funções contínuas em todo ponto; portanto, o limite quando x\to a de um polinômio é apenas o valor do polinômio em a. Em símbolos: se p é polinômio, \displaystyle \lim_{x\to a} p(x) = p(a).
  • Teorema do quociente (ou regra do limite para razão): se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então \displaystyle \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}.
  • Observação útil: se duas funções coincidem em todo um intervalo com exceção possivelmente do ponto a, então têm o mesmo limite quando x\to a. Assim, se conseguimos fatorar e simplificar a expressão cancelando um fator que causa a indeterminação, podemos calcular o limite da função simplificada por substituição direta.

Passo 4

Fatorar o numerador 2x^{2}-x-3: usar a fórmula quadrática para encontrar raízes. Para ax^{2}+bx+c as raízes são \dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Aqui a=2, b=-1, c=-3.
  • Discriminante: b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot2\cdot(-3) = 1 + 24 = 25.
  • Raízes: \displaystyle x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{25}}{2\cdot2}=\frac{1\pm5}{4}. Assim as raízes são x=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} e x=\dfrac{-4}{4}=-1.
    Portanto o polinômio se fatoriza como
2x^{2}-x-3 = 2\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)(x+1) = (x+1)(2x-3).

Passo 5

Fatorar o denominador x^{3}+2x^{2}+6x+5: já vimos que x=-1 é raiz (pois ao substituir dá zero), logo (x+1) é um fator. Fazemos divisão sintética para obter o quociente. Coeficientes: 1,\;2,\;6,\;5. Usando x=-1:
  • Trazer 1 para baixo. Multiplicar por -1 -1. Somar a 2 resulta 1. Multiplicar por -1 -1. Somar a 6 resulta 5. Multiplicar por -1 -5. Somar a 5 resulta 0 (resto).
Logo o quociente é x^{2}+x+5 e o resto é 0. Assim
x^{3}+2x^{2}+6x+5 = (x+1)(x^{2}+x+5).

Passo 6

Simplificação da expressão original: como numerador e denominador têm o fator comum (x+1), para x\neq -1 podemos cancelar esse fator. Escrevemos
\frac{2x^{2}-x-3}{x^{3}+2x^{2}+6x+5} = \frac{(x+1)(2x-3)}{(x+1)(x^{2}+x+5)} = \frac{2x-3}{x^{2}+x+5},\qquad x\neq -1.
Pelo fato citado antes (duas funções que coincidem em todo vizinho de -1 exceto possivelmente em -1 têm o mesmo limite), temos
\lim_{x\to -1} \frac{2x^{2}-x-3}{x^{3}+2x^{2}+6x+5} = \lim_{x\to -1} \frac{2x-3}{x^{2}+x+5}.
Agora a indeterminação foi removida, porque ao substituir x=-1 na nova expressão o denominador não é zero (ver passo seguinte).

Passo 7

Avaliar o limite da função simplificada usando continuidade dos polinômios (substituição direta):
  • Numerador em x=-1: 2(-1)-3 = -2-3 = -5.
  • Denominador em x=-1: (-1)^{2}+(-1)+5 = 1-1+5 = 5.
    Portanto
\lim_{x\to -1} \frac{2x-3}{x^{2}+x+5} = \frac{-5}{5} = -1.

Resposta

-1

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