Resolva as seguintes inequações: \frac{x(2 x-1)}{x+1} \geqslant 0.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x(2x-1)}{x+1} \ge 0.
O conteúdo é solução de inequações racionais, que exige encontrar zeros do numerador, pontos em que a função não está definida (denominador zero) e fazer um estudo de sinais nos intervalos determinados por esses pontos.
Passo 2
Vamos identificar os pontos críticos da função
f(x)=\frac{x(2x-1)}{x+1}.
— O numerador é x(2x-1), que anula em x=0 e em 2x-1=0\implies x=\tfrac12.
— O denominador é x+1, que anula em x=-1, onde f não está definida.
Passo 3
Estudamos o sinal de f(x) nos intervalos (-\infty,-1), (-1,0), (0,\tfrac12) e (\tfrac12,\infty).
Queremos \frac{x(2x-1)}{x+1}\ge0, ou seja, f(x)>0 ou f(x)=0.
— f(x)>0 em (-1,0)\cup(\tfrac12,\infty).
— f(x)=0 em x=0 e em x=\tfrac12.
Não incluímos x=-1 porque ali o denominador anula.