Resolva as seguintes inequações:
\frac{x(2 x-1)}{x+1} \geqslant 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x(2x-1)}{x+1} \ge 0.
O conteúdo é solução de inequações racionais, que exige encontrar zeros do numerador, pontos em que a função não está definida (denominador zero) e fazer um estudo de sinais nos intervalos determinados por esses pontos.

Passo 2

Vamos identificar os pontos críticos da função
f(x)=\frac{x(2x-1)}{x+1}.
— O numerador é x(2x-1), que anula em x=0 e em 2x-1=0\implies x=\tfrac12.
— O denominador é x+1, que anula em x=-1, onde f não está definida.

Passo 3

Estudamos o sinal de f(x) nos intervalos (-\infty,-1), (-1,0), (0,\tfrac12) e (\tfrac12,\infty).
Em x< -1, por exemplo x=-2:
x<0,\quad 2x-1<0\implies x(2x-1)>0, \quad x+1<0 \;\Longrightarrow\; f(x)<0.
Em -1<x<0, por exemplo x=-\tfrac12:
x<0,\quad 2x-1<0\implies x(2x-1)>0, \quad x+1>0 \;\Longrightarrow\; f(x)>0.
Em 0<x<\tfrac12, por exemplo x=\tfrac14:
x>0,\quad 2x-1<0\implies x(2x-1)<0, \quad x+1>0 \;\Longrightarrow\; f(x)<0.
Em x>\tfrac12, por exemplo x=1:
x>0,\quad 2x-1>0\implies x(2x-1)>0, \quad x+1>0 \;\Longrightarrow\; f(x)>0.

Passo 4

Queremos \frac{x(2x-1)}{x+1}\ge0, ou seja, f(x)>0 ou f(x)=0.
f(x)>0 em (-1,0)\cup(\tfrac12,\infty).
f(x)=0 em x=0 e em x=\tfrac12.
Não incluímos x=-1 porque ali o denominador anula.
Logo a solução é
(-1,0]\;\cup\;\bigl[\tfrac12,\infty\bigr).

Resposta

(-1,0]\cup\bigl[\tfrac12,\infty\bigr)

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