Determine o domínio e esboce o gráfico da função f(x)=\left|\frac{1}{2}(x-1)(x+2)\right|.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função
f(x)=\left|\frac12\,(x-1)(x+2)\right|.
O conteúdo aqui é domínio de uma função polinomial composta com valor absoluto e transformação geométrica (reflexão de trechos negativos para cima).

Passo 2

Para achar o domínio, note que a expressão interna \frac12\,(x-1)(x+2)
é um polinômio (definido para todo x\in\mathbb{R}) e a aplicação do valor absoluto não restringe o domínio. Logo
\text{Dom}(f)=(-\infty,\infty).

Passo 3

Estudamos primeiro a parábola interna
g(x)=\frac12\,(x-1)(x+2).
Expandindo,
g(x)=\frac12\,(x^2 + x -2)=\frac12\,x^2+\frac12\,x -1.
Os zeros são x=-2 e x=1. Como o coeficiente de x^2 é positivo \tfrac12, a parábola abre para cima. O vértice ocorre em
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{\tfrac12}{2\cdot\tfrac12}=-\tfrac12,
e
g\bigl(-\tfrac12\bigr)=\frac12\bigl[(-\tfrac12)^2+(-\tfrac12)-2\bigr] =-\tfrac{9}{8}=-1{,}125.

Passo 4

A função original é
f(x)=|g(x)|.
Isso significa que:
  • Para x< -2 ou x>1, g(x)\ge0 e f(x)=g(x) é a parte da parábola original acima do eixo x.
  • Para -2\le x\le1, g(x)\le0 e f(x)=-\,g(x). Geometricamente, a parte da parábola que estava abaixo do eixo x é refletida para cima.

Passo 5

Pontos e forma do esboço:
  1. Zeros de f em x=-2 e x=1.
  2. No intervalo [-2,1], f(x)=-g(x) é a parábola
-\bigl(\tfrac12\,x^2+\tfrac12\,x-1\bigr) =-\tfrac12\,x^2-\tfrac12\,x+1
que tem vértice em \bigl(-\tfrac12,\;1{,}125\bigr) e concavidade para baixo.
3. Para x<-2 e x>1, f(x)=g(x)=\tfrac12\,x^2+\tfrac12\,x-1 é concava para cima, crescendo quadraticamente.
4. Conforme x\to\pm\infty, f(x)\sim\tfrac12\,x^2\to+\infty.

Resposta

Domínio: (-\infty,\infty).
O gráfico é obtido a partir da parábola y=\tfrac12(x-1)(x+2) com zeros em -2 e 1, refletindo a porção negativa para cima. O vértice refletido fica em \bigl(-\tfrac12,\;1{,}125\bigr).

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