Determine o domínio e esboce o gráfico da função f(x)=\left|\frac{1}{2}(x-1)(x+2)\right|.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio e esboçar o gráfico da função
f(x)=\left|\frac12\,(x-1)(x+2)\right|.
O conteúdo aqui é domínio de uma função polinomial composta com valor absoluto e transformação geométrica (reflexão de trechos negativos para cima).
Passo 2
Para achar o domínio, note que a expressão interna \frac12\,(x-1)(x+2)
é um polinômio (definido para todo x\in\mathbb{R}) e a aplicação do valor absoluto não restringe o domínio. Logo
\text{Dom}(f)=(-\infty,\infty).
Passo 3
Estudamos primeiro a parábola interna
g(x)=\frac12\,(x-1)(x+2).
Expandindo,
g(x)=\frac12\,(x^2 + x -2)=\frac12\,x^2+\frac12\,x -1.
Os zeros são x=-2 e x=1. Como o coeficiente de x^2 é positivo \tfrac12, a parábola abre para cima. O vértice ocorre em
que tem vértice em \bigl(-\tfrac12,\;1{,}125\bigr) e concavidade para baixo.
3. Para x<-2 e x>1, f(x)=g(x)=\tfrac12\,x^2+\tfrac12\,x-1 é concava para cima, crescendo quadraticamente.
4. Conforme x\to\pm\infty, f(x)\sim\tfrac12\,x^2\to+\infty.
Resposta
Domínio: (-\infty,\infty).
O gráfico é obtido a partir da parábola y=\tfrac12(x-1)(x+2) com zeros em -2 e 1, refletindo a porção negativa para cima. O vértice refletido fica em \bigl(-\tfrac12,\;1{,}125\bigr).