Questão 01 (1,0 ponto): No plano XY, três partículas de massas m_{1}, m_{2} e m_{3}, estão situadas nas seguintes coordenadas: (2 \mathrm{a}, 0) ;(0, \mathrm{a}) \mathrm{e}(0,-\mathrm{a}), respectivamente. Encontre a força gravitacional resultante que as massas m_{2} e m_{3} exercem sobre a massa m_{1}. (Dados: \mathrm{m}_{1}=\mathrm{m}_{2}=\mathrm{m}_{3}=\mathrm{m}=5,0 \mathrm{~kg} e \mathrm{a}=0,5 \mathrm{~m} )

Passo 1

O enunciado coloca três partículas de massa \displaystyle m_{1}=m_{2}=m_{3}=m em coordenadas (2a,0), (0,a) e (0,-a). Queremos a soma vetorial das forças gravitacionais que m_{2} e m_{3} exercem sobre m_{1}. Vamos usar a lei da gravitação universal de Newton
\vec F = -G\,\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\,\hat u
onde r é a distância entre as massas e \hat u é o vetor unitário que aponta de m_{1} para a outra massa.

Passo 2

Calculemos a distância de m_{1} a m_{2} (e, por simetria, a m_{3}):
r_{12} = \sqrt{(2a-0)^{2} + (0 - a)^{2}} = \sqrt{4a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{5}.
Logo, as magnitudes das forças são iguais:
F_{2} = F_{3} = G\,\frac{m^{2}}{r_{12}^{2}} = G\,\frac{m^{2}}{5a^{2}}.

Passo 3

Agora encontramos os vetores unitários. Do ponto (2a,0) para (0,a) temos
\vec r_{1\to2} = (-2a,\,a), \quad \hat u_{12} = \frac{\vec r_{1\to2}}{\|\vec r_{1\to2}\|} = \frac{(-2a,\,a)}{a\sqrt{5}} = \Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt5},\,\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr).
De modo similar, para m_{3} em (0,-a):
\hat u_{13} = \frac{(-2a,\,-a)}{a\sqrt{5}} = \Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt5},\,-\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr).

Passo 4

Escrevendo as forças vetoriais:
\vec F_{2} = -\,F_{2}\,\hat u_{12} = -\,G\,\frac{m^{2}}{5a^{2}}\, \Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt5},\,\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr) = \frac{G\,m^{2}}{5\sqrt5\,a^{2}}\,(2,\,-1),
\vec F_{3} = -\,F_{3}\,\hat u_{13} = -\,G\,\frac{m^{2}}{5a^{2}}\, \Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt5},\,-\tfrac{1}{\sqrt5}\Bigr) = \frac{G\,m^{2}}{5\sqrt5\,a^{2}}\,(2,\,1).

Passo 5

Somando \vec F_{2} + \vec F_{3}:
\vec F_{\text{res}} = \frac{G\,m^{2}}{5\sqrt5\,a^{2}}\, \bigl((2+2),\,(-1+1)\bigr) = \frac{4\,G\,m^{2}}{5\sqrt5\,a^{2}}\,(1,\,0).
O sinal positivo em x indica que o resultado aponta para o eixo +X.

Passo 6

Substituindo m=5{,}0\\ \mathrm{kg}, a=0{,}5\\ \mathrm{m} e G=6{,}67\times10^{-11}\\ \mathrm{N\,m^{2}/kg^{2}}:
\frac{4\,G\,m^{2}}{5\sqrt5\,a^{2}} = \frac{4\times6{,}67\times10^{-11}\times(5{,}0)^{2}} {5\sqrt5\times(0{,}5)^{2}} \approx 2{,}39\times10^{-9}\\ \mathrm{N}.

Resposta

\displaystyle \vec F_{\text{res}} = 2{,}39\times10^{-9}\,\hat{\mathbf i}\\ \mathrm{N}

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