Questão 04 (1,0 ponto): Um satélite de massa m=50 kg gira em uma órbita circular em torno da Terra a uma altitude de 300 km . Calcule: (a) a energia cinética K ; (b) a velocidade orbital V desse satélite. (Dados: \mathrm{R}_{\mathrm{T}}=6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m} e \mathrm{M}_{\mathrm{T}}=5,98 \times 10^{24} \mathrm{~kg} ).

Passo 1

O enunciado diz que um satélite de massa m=50 kg gira em órbita circular a uma altitude de 300 km acima da superfície da Terra. Queremos calcular
(a) a energia cinética K desse satélite e
(b) a velocidade orbital V.
O conteúdo principal aqui é mecânica orbital: igualar a força gravitacional à força centrípeta para obter V e usar a definição de energia cinética. Vamos precisar também de G=6,67\times10^{-11},N \cdot m^{2}/ kg^{2}, do raio da Terra R_T=6,37\times10^6 m e da massa da Terra M_T=5,98\times10^{24} kg.

Passo 2

Primeiro determinamos o raio da órbita medida do centro da Terra. A altura é h=300 km =3{,}00\times10^5 m, então
r = R_T + h = 6{,}37\times10^6 + 3{,}00\times10^5 = 6{,}67\times10^6\text{ m}.

Passo 3

Para uma órbita circular, a força centrípeta mV^2/r vem da atração gravitacional G\,M_T\,m/r^2. Igualando-as,
\frac{m\,V^2}{r} = \frac{G\,M_T\,m}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad V = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}}.
Substituindo os valores,
G\,M_T = 6{,}67\times10^{-11}\times5{,}98\times10^{24} =3{,}9887\times10^{14},
\frac{G\,M_T}{r} =\frac{3{,}9887\times10^{14}}{6{,}67\times10^6} =5{,}98\times10^7,
V = \sqrt{5{,}98\times10^7} \approx7{,}74\times10^3\text{ m/s}.

Passo 4

A energia cinética é dada por
K = \tfrac12\,m\,V^2.
Usando m=50 kg e V^2=5{,}98\times10^7,
K = \tfrac12\times50\times5{,}98\times10^7 =25\times5{,}98\times10^7 =1{,}495\times10^9\text{ J} \approx1{,}50\times10^9\text{ J}.

Resposta

(a) K \approx 1{,}50\times10^9 J
(b) V \approx 7{,}74\times10^3 m/s

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