Questão 01. ( 2,5 pontos) Sabe-se que a população
de uma determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes
. Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial. Sendo
a constante de proporcionalidade e
a quantidade total da população após
anos e
a quantidade inicial da população.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- Equação diferencial fornecida:
, onde é uma constante (pode ser positiva ou negativa) e é a população no instante em anos. - Condições iniciais/dados:
- Após 10 anos a população triplica:
. - Após 20 anos a população é
habitantes: .
- Após 10 anos a população triplica:
- O que se pede: determinar a população inicial
.
Passo 2
Resolver a equação diferencial geral passo a passo (muito importante entender este procedimento para prova).
- A equação diferencial é de primeira ordem e separável:
. - Separe variáveis:
. - Integre dos dois lados (integração indefinida):
A integral do lado esquerdo é e a do direito é (onde é constante de integração). Logo: - Exponencie ambos os lados para isolar
: Denotando (isto é, é exatamente a população inicial), obtemos a solução geral: Observação didática: aqui não se assumiu sinal de ; o sinal aparecerá ao usar os dados. Se ficar negativo, o expoente será positivo e haverá crescimento exponencial — tudo coerente com o que o enunciado descreve.
Passo 3
Usar a condição de triplicação em
para relacionar
com os dados.
- Substituindo
na solução: - Pela condição dada,
. Igualando: - Como
é positivo (população), cancela-se dos dois lados: - Aplicar logaritmo natural para resolver para
: Comentário didático: o valor de ficou negativo, isto explica a aparente contradição inicial entre a forma e a frase “cresce”: com temos , resultando em crescimento. Outra forma útil de escrever a solução é substituir esse em . Como , temos: Esta forma é intuitiva: a cada 10 anos multiplica por .
Passo 4
Usar a condição em
para calcular
.
- Pela expressão
, para temos: - Mas foi dado que
. Assim: - Isolando
:
Passo 5
Simplificar a fração e apresentar o resultado exato e uma aproximação prática.
- Reduzindo a fração:
- Em decimal isso dá aproximadamente
Arredondando para duas casas decimais: habitantes. Em contextos reais de população costuma-se arredondar para o inteiro mais próximo (por exemplo habitantes), mas a resposta exata em fração é mais precisa.