Questão 01. ( 2,5 pontos) Sabe-se que a população (P) de uma determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes \left(\frac{d P}{d t}=-K \cdot P(t)\right). Se, após 10 anos, a população triplica, e após 20 anos é de 150.000 habitantes, determine a população inicial. Sendo k a constante de proporcionalidade e P(t) a quantidade total da população após t anos e \boldsymbol{P}_{0} a quantidade inicial da população.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Equação diferencial fornecida: \dfrac{dP}{dt}=-K\cdot P(t), onde K é uma constante (pode ser positiva ou negativa) e P(t) é a população no instante t em anos.
  • Condições iniciais/dados:
    • Após 10 anos a população triplica: P(10)=3\;P_{0}.
    • Após 20 anos a população é 150{.}000 habitantes: P(20)=150{.}000.
  • O que se pede: determinar a população inicial P_{0}.

Passo 2

Resolver a equação diferencial geral passo a passo (muito importante entender este procedimento para prova).
  • A equação diferencial é de primeira ordem e separável: \dfrac{dP}{dt}=-K\;P(t).
  • Separe variáveis: \dfrac{1}{P}\,dP = -K\,dt.
  • Integre dos dois lados (integração indefinida): \int \dfrac{1}{P}\,dP = \int -K\,dt.A integral do lado esquerdo é \ln|P| e a do direito é -K t + C (onde C é constante de integração). Logo: \ln|P| = -K t + C.
  • Exponencie ambos os lados para isolar P: P(t) = e^{C}\,e^{-K t}.Denotando P_{0}=P(0)=e^{C} (isto é, e^{C} é exatamente a população inicial), obtemos a solução geral: P(t)=P_{0}\,e^{-K t}.Observação didática: aqui não se assumiu sinal de K; o sinal aparecerá ao usar os dados. Se K ficar negativo, o expoente será positivo e haverá crescimento exponencial — tudo coerente com o que o enunciado descreve.

Passo 3

Usar a condição de triplicação em t=10 para relacionar K com os dados.
  • Substituindo t=10 na solução: P(10)=P_{0}\,e^{-10K}.
  • Pela condição dada, P(10)=3\,P_{0}. Igualando: P_{0}\,e^{-10K}=3\,P_{0}.
  • Como P_{0} é positivo (população), cancela-se P_{0} dos dois lados: e^{-10K}=3.
  • Aplicar logaritmo natural para resolver para K: -10K=\ln 3 \quad\Rightarrow\quad K=-\dfrac{1}{10}\ln 3.Comentário didático: o valor de K ficou negativo, isto explica a aparente contradição inicial entre a forma \dfrac{dP}{dt}=-K P e a frase “cresce”: com K<0 temos -K>0, resultando em crescimento. Outra forma útil de escrever a solução é substituir esse K em P(t)=P_{0}e^{-K t}. Como -K=\dfrac{\ln 3}{10}, temos: P(t)=P_{0}\,e^{\tfrac{\ln 3}{10}\,t}=P_{0}\,3^{\,t/10}.Esta forma P(t)=P_{0}\,3^{t/10} é intuitiva: a cada 10 anos multiplica por 3.

Passo 4

Usar a condição em t=20 para calcular P_{0}.
  • Pela expressão P(t)=P_{0}\,3^{t/10}, para t=20 temos: P(20)=P_{0}\,3^{20/10}=P_{0}\,3^{2}=9\,P_{0}.
  • Mas foi dado que P(20)=150{.}000. Assim: 9\,P_{0}=150{.}000.
  • Isolando P_{0}: P_{0}=\dfrac{150{.}000}{9}.

Passo 5

Simplificar a fração e apresentar o resultado exato e uma aproximação prática.
  • Reduzindo a fração: P_{0}=\dfrac{150{.}000}{9}=\dfrac{50{.}000}{3}.
  • Em decimal isso dá aproximadamente P_{0}\approx 16.666{,}666\ldots \text{ habitantes}.Arredondando para duas casas decimais: P_{0}\approx 16.666{,}67 habitantes. Em contextos reais de população costuma-se arredondar para o inteiro mais próximo (por exemplo 16.667 habitantes), mas a resposta exata em fração é mais precisa.

Resposta

P_{0}=\dfrac{50{.}000}{3}\\ \text{habitantes}\approx 16.666{,}67\\ \text{habitantes}

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