Questão 5 (2 pts.). Prove, usando indução matemática, que 2 n<n^{2}, para todo número natural n \geq 3. Que acontece se n<3?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado a desigualdade 2n < n^{2}.
  • O domínio é "todo número natural n \geq 3".
  • O que se pede:
    1. Provar que 2n < n^{2} para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 3.
    2. Dizer o que acontece se n<3.

Passo 2

O método pedido: indução matemática (a explicação do método, passo a passo).
  • Ideia intuitiva (analogia do dominó): provar que a propriedade vale para o primeiro tijolo (caso base) e que, sempre que vale para um tijolo qualquer k, então vale para o próximo k+1 (passo indutivo). Assim todos os tijolos a partir do primeiro caem — ou seja, a propriedade vale para todos os n a partir do caso base.
  • Notação que vamos usar: defino a proposição dependente de n por P(n) = “ 2n < n^{2}”.
  • Estrutura da prova por indução:
    1. Mostrar P(3) (caso base).
    2. Assumir P(k) verdadeira para algum k\ge3 (hipótese indutiva).
    3. Mostrar que dessa hipótese segue P(k+1).
    4. Concluir que P(n) vale para todo n\ge3.

Passo 3

Caso base: n=3.
  • Calcular os dois lados: 2\cdot 3 = 6 e 3^{2}=9.
  • Concluir: 6 < 9, logo P(3) é verdadeira.
  • Comentário didático: verificar o menor valor da região proposta ( n=3) é essencial — se o caso base falhar, a indução não começa.

Passo 4

Hipótese indutiva (o que vamos assumir para depois usar):
  • Suponha que para algum k\in\mathbb{N} com k\ge 3 a proposição seja verdadeira, isto é, assuma 2k < k^{2}.
  • Explicação: essa é a suposição temporária que usamos para demonstrar a propriedade em k+1.

Passo 5

Passo indutivo: mostrar que a hipótese implica P(k+1).
  • O que queremos provar: 2(k+1) < (k+1)^{2}.
  • Começo calculando a diferença entre o quadrado e o dobro, que é uma forma útil de comparar os dois lados: (k+1)^{2} - 2(k+1) = k^{2} + 2k + 1 - 2k - 2 = k^{2} - 1.Portanto 2(k+1) < (k+1)^{2} equivale a provar k^{2}-1>0.
  • Agora uso a hipótese indutiva escrita de maneira equivalente: 2k < k^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad k^{2}-2k>0.
  • Comparo k^{2}-1 com k^{2}-2k. A diferença é (k^{2}-1) - (k^{2}-2k) = 2k - 1.Para todo k\ge 1 tem-se 2k-1>0; em particular, para k\ge3 isso é verdade. Então k^{2}-1 > k^{2}-2k.
  • Pela hipótese indutiva sabemos k^{2}-2k>0. Pela desigualdade acima obtemos k^{2}-1 > k^{2}-2k > 0.Logo k^{2}-1>0, isto é, (k+1)^{2} - 2(k+1) > 0,o que implica 2(k+1) < (k+1)^{2}.
  • Comentário didático: o passo essencial foi notar que, se k^{2}-2k>0, então aumentando -2k para -1 (ou seja, passando de k^{2}-2k para k^{2}-1) a expressão fica ainda maior, e continua positiva. Assim a hipótese para k força o caso k+1.

Passo 6

Fechamento da indução e conclusão lógica.
  • Como P(3) é verdadeira (Passo 3) e mostramos que P(k)\Rightarrow P(k+1) para qualquer k\ge3 (Passo 5), pelo princípio da indução matemática concluímos que P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 3.
  • Interpretação curta: a desigualdade 2n < n^{2} vale para todos os naturais a partir de 3.

Passo 7

O que acontece se n<3.
  • Devemos testar os inteiros naturais menores que 3. (Observação: dependendo da convenção, \mathbb{N} pode começar em 0 ou em 1; em qualquer caso os valores menores que 3 relevantes são 0,1,2.)
  • Para n=0: 2\cdot 0 = 0 e 0^{2}=0. A desigualdade 0<0 é falsa.
  • Para n=1: 2\cdot 1 = 2 e 1^{2}=1. A desigualdade 2<1 é falsa.
  • Para n=2: 2\cdot 2 = 4 e 2^{2}=4. A desigualdade 4<4 é falsa (é igual).
  • Conclusão: para n<3 a desigualdade não vale — os valores n=0,1,2 são contra-exemplos.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} com n\ge 3 vale 2n < n^{2}.
Se n<3 a desigualdade é falsa: para n=0 tem 0<0 (falso), para n=1 tem 2<1 (falso) e para n=2 tem 4<4 (falso).

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