Questão 5 (2 pts.). Prove, usando indução matemática, que
, para todo número natural
. Que acontece se
?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado a desigualdade
. - O domínio é "todo número natural
". - O que se pede:
- Provar que
para todo com . - Dizer o que acontece se
.
- Provar que
Passo 2
O método pedido: indução matemática (a explicação do método, passo a passo).
- Ideia intuitiva (analogia do dominó): provar que a propriedade vale para o primeiro tijolo (caso base) e que, sempre que vale para um tijolo qualquer
, então vale para o próximo (passo indutivo). Assim todos os tijolos a partir do primeiro caem — ou seja, a propriedade vale para todos os a partir do caso base. - Notação que vamos usar: defino a proposição dependente de
por = “ ”. - Estrutura da prova por indução:
- Mostrar
(caso base). - Assumir
verdadeira para algum (hipótese indutiva). - Mostrar que dessa hipótese segue
. - Concluir que
vale para todo .
- Mostrar
Passo 3
Caso base:
.
- Calcular os dois lados:
e . - Concluir:
, logo é verdadeira. - Comentário didático: verificar o menor valor da região proposta (
) é essencial — se o caso base falhar, a indução não começa.
Passo 4
Hipótese indutiva (o que vamos assumir para depois usar):
- Suponha que para algum
com a proposição seja verdadeira, isto é, assuma - Explicação: essa é a suposição temporária que usamos para demonstrar a propriedade em
.
Passo 5
Passo indutivo: mostrar que a hipótese implica
.
- O que queremos provar:
. - Começo calculando a diferença entre o quadrado e o dobro, que é uma forma útil de comparar os dois lados:
Portanto equivale a provar . - Agora uso a hipótese indutiva escrita de maneira equivalente:
- Comparo
com . A diferença é Para todo tem-se ; em particular, para isso é verdade. Então - Pela hipótese indutiva sabemos
. Pela desigualdade acima obtemos Logo , isto é, o que implica . - Comentário didático: o passo essencial foi notar que, se
, então aumentando para (ou seja, passando de para ) a expressão fica ainda maior, e continua positiva. Assim a hipótese para força o caso .
Passo 6
Fechamento da indução e conclusão lógica.
- Como
é verdadeira (Passo 3) e mostramos que para qualquer (Passo 5), pelo princípio da indução matemática concluímos que é verdadeira para todo com . - Interpretação curta: a desigualdade
vale para todos os naturais a partir de .
Passo 7
O que acontece se
.
- Devemos testar os inteiros naturais menores que
. (Observação: dependendo da convenção, pode começar em ou em ; em qualquer caso os valores menores que relevantes são .) - Para
: e . A desigualdade é falsa. - Para
: e . A desigualdade é falsa. - Para
: e . A desigualdade é falsa (é igual). - Conclusão: para
a desigualdade não vale — os valores são contra-exemplos.
Resposta
Para todo
com
vale
.
Se
a desigualdade é falsa: para
tem
(falso), para
tem
(falso) e para
tem
(falso).