Questão 04 ( 2,0 pontos). Calcule \iint_{D}(x-3 y) d A, na região D compreendida pelas retas y=-x+2, y=x+2 e y=4. Obs.: Faça um esboço.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla \iint_{D}(x-3y)\,dA, onde D é a região limitada pelas retas y=-x+2, y=x+2 e y=4. Ou seja:
  • O que pedir: calcular \iint_{D}(x-3y)\,dA.
  • Informações dadas: as três retas que delimitam D: y=-x+2, y=x+2 e y=4.

Passo 2

Primeiro vamos entender a forma geométrica de D (faça um esboço no papel seguindo estas instruções).
  • Interseção entre y=x+2 e y=-x+2: resolver x+2=-x+2 x=0 e então y=2. Ponto (0,2).
  • Interseção entre y=4 e y=x+2: resolver x+2=4 x=2. Ponto (2,4).
  • Interseção entre y=4 e y=-x+2: resolver -x+2=4 x=-2. Ponto (-2,4).
Portanto D é o triângulo com vértices (-2,4), (2,4) e (0,2). No esboço: base horizontal entre (-2,4) e (2,4) e vértice inferior em (0,2).

Passo 3

Escolher uma ordem de integração prática. Observando o triângulo, é natural integrar primeiro em x e depois em y:
  • Para um y fixo entre 2 e 4, as duas retas inclinadas dão os extremos em x. Escrevendo-as como x em função de y: y=x+2 \quad\Rightarrow\quad x=y-2,
y=-x+2 \quad\Rightarrow\quad x=2-y.
  • Para y\in[2,4] temos 2-y\le x\le y-2 (note que 2-y=-(y-2), intervalo simétrico em torno de x=0).
Logo podemos escrever a integral como
\iint_{D}(x-3y)\,dA=\int_{y=2}^{4}\int_{x=\,2-y}^{\,y-2}(x-3y)\,dx\,dy.

Passo 4

Vou explicar por que essa escolha é conveniente: a integral interna em x tem limites simétricos (-(y-2),\; y-2). A função integranda é x-3y; a parte x é ímpar em x (isto é, x muda de sinal se trocarmos x por -x), enquanto a parte -3y é constante em relação a x. Sobre um intervalo simétrico [-a,a]:
  • \displaystyle\int_{-a}^{a} x\,dx = 0 (porque a área positiva cancela com a negativa),
  • \displaystyle\int_{-a}^{a} (-3y)\,dx = -3y\cdot(2a).
Aproveitaremos isso para simplificar o cálculo.

Passo 5

Calcular a integral interna explicitamente, destacando a anulação da parte ímpar.
Seja a=y-2. Então os limites são x de -a até a.
\int_{x=2-y}^{y-2}(x-3y)\,dx = \int_{-a}^{a} x\,dx \;+\; \int_{-a}^{a} (-3y)\,dx.
Como \displaystyle\int_{-a}^{a} x\,dx=0, resta
\int_{-a}^{a} (-3y)\,dx = -3y\cdot(2a) = -6y(y-2).

Passo 6

Agora a integral dupla reduz-se à integral em y:
\iint_{D}(x-3y)\,dA=\int_{y=2}^{4} -6y(y-2)\,dy.
Expandindo o integrando:
-6y(y-2) = -6(y^2-2y) = -6y^2+12y.

Passo 7

Calcular a primitiva e avaliar de y=2 até y=4.
Uma primitiva de -6y^2+12y é
\int (-6y^2+12y)\,dy = -2y^3+6y^2 + C,
porque \dfrac{d}{dy}(-2y^3) = -6y^2 e \dfrac{d}{dy}(6y^2)=12y.
Avaliaremos entre 2 e 4:
  • Em y=4: -2(4)^3 + 6(4)^2 = -2\cdot64 + 6\cdot16 = -128 +96 = -32.
  • Em y=2: -2(2)^3 + 6(2)^2 = -2\cdot8 + 6\cdot4 = -16 +24 = 8.
Subtraindo,
\left[-2y^3+6y^2\right]_{2}^{4} = (-32) - (8) = -40.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o resultado -40 faz sentido porque a parte -3y (negativa, já que y>0 na região) domina a integral, e a contribuição ímpar de x se anulou pela simetria do triângulo em relação ao eixo x=0.

Resposta

-40

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