Questão 04 ( 2,0 pontos). Calcule
, na região
compreendida pelas retas
e
. Obs.: Faça um esboço.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
, onde
é a região limitada pelas retas
,
e
. Ou seja:
- O que pedir: calcular
. - Informações dadas: as três retas que delimitam
: , e .
Passo 2
Primeiro vamos entender a forma geométrica de
(faça um esboço no papel seguindo estas instruções).
- Interseção entre
e : resolver dá e então . Ponto . - Interseção entre
e : resolver dá . Ponto . - Interseção entre
e : resolver dá . Ponto .
Portanto
é o triângulo com vértices
,
e
. No esboço: base horizontal entre
e
e vértice inferior em
.
Passo 3
Escolher uma ordem de integração prática. Observando o triângulo, é natural integrar primeiro em
e depois em
:
- Para um
fixo entre e , as duas retas inclinadas dão os extremos em . Escrevendo-as como em função de :
- Para
temos (note que , intervalo simétrico em torno de ).
Logo podemos escrever a integral como
Passo 4
Vou explicar por que essa escolha é conveniente: a integral interna em
tem limites simétricos
. A função integranda é
; a parte
é ímpar em
(isto é,
muda de sinal se trocarmos
por
), enquanto a parte
é constante em relação a
. Sobre um intervalo simétrico
:
-
(porque a área positiva cancela com a negativa), -
.
Aproveitaremos isso para simplificar o cálculo.
Passo 5
Calcular a integral interna explicitamente, destacando a anulação da parte ímpar.
Seja . Então os limites são
de
até
.
Seja
Como
, resta
Passo 6
Agora a integral dupla reduz-se à integral em
:
Expandindo o integrando:
Passo 7
Calcular a primitiva e avaliar de
até
.
Uma primitiva de é
Uma primitiva de
porque
e
.
Avaliaremos entre
e
:
- Em
: - Em
:
Subtraindo,
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida: o resultado
faz sentido porque a parte
(negativa, já que
na região) domina a integral, e a contribuição ímpar de
se anulou pela simetria do triângulo em relação ao eixo
.