QUESTÃO 01 : Resolva as inequações a seguir.
(3 x+2)\left(x^{2}-2 x-8\right) \leq 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(3x+2)\left(x^{2}-2x-8\right)\leq 0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos um produto de fatores que deve ser menor ou igual a zero.
  • É preciso encontrar todos os valores de x que tornam esse produto não-positivo (ou seja, negativo ou zero).

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar o polinômio quadrático \,x^{2}-2x-8.
  • Procuramos dois números cuja soma seja -2 e o produto seja -8. Esses números são -4 e 2.
  • Logo,
x^{2}-2x-8=(x-4)(x+2).
Portanto a inequação fica
(3x+2)(x-4)(x+2)\leq 0.

Passo 3

Agora identificamos os pontos onde o produto é zero (os pontos críticos), resolvendo cada fator igual a zero:
3x+2=0 \Rightarrow x=-\dfrac{2}{3},
x+2=0 \Rightarrow x=-2,
x-4=0 \Rightarrow x=4.
Ordenando os pontos críticos na reta: -2 < -\dfrac{2}{3} < 4.

Passo 4

Vamos usar um quadro de sinais (testando um ponto em cada intervalo definido pelos pontos críticos) para saber onde o produto é negativo ou positivo. Os intervalos são (-\infty,-2), (-2,-\tfrac{2}{3}), (-\tfrac{2}{3},4) e (4,\infty).
  1. Teste em (-\infty,-2). Escolho x=-3.
3(-3)+2=-9+2=-7\;(\text{negativo}),
-3+2=-1\;(\text{negativo}),
-3-4=-7\;(\text{negativo}).
Produto: negativo \times negativo \times negativo = negativo. Logo a inequação é satisfeita nesse intervalo.
  1. Teste em (-2,-\tfrac{2}{3}). Escolho x=-1.
3(-1)+2=-1\;(\text{negativo}),
-1+2=1\;(\text{positivo}),
-1-4=-5\;(\text{negativo}).
Produto: negativo \times positivo \times negativo = positivo. Não satisfaz a inequação nesse intervalo.
  1. Teste em (-\tfrac{2}{3},4). Escolho x=0.
3(0)+2=2\;(\text{positivo}),
0+2=2\;(\text{positivo}),
0-4=-4\;(\text{negativo}).
Produto: positivo \times positivo \times negativo = negativo. Satisfaz a inequação nesse intervalo.
  1. Teste em (4,\infty). Escolho x=5.
3(5)+2=17\;(\text{positivo}),
5+2=7\;(\text{positivo}),
5-4=1\;(\text{positivo}).
Produto: positivo \times positivo \times positivo = positivo. Não satisfaz.
Observação sobre os pontos onde o produto é zero: a inequação é “ \leq 0”, então incluímos os pontos em que o produto é exatamente zero, isto é, x=-2, x=-\dfrac{2}{3} e x=4.

Passo 5

Juntando os intervalos onde o produto é negativo (ou zero nos pontos críticos incluídos), a solução é a união dos intervalos onde a inequação é satisfeita:
(-\infty,-2] \cup \left[-\dfrac{2}{3},4\right].

Resposta

(-\infty,-2] \cup \left[-\dfrac{2}{3},4\right]

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