Questão 01: Responda verdadeiro ou falso e justifique.
  1. (x, y): y=|x|, x in R é um subespaço do R^2.
Solução: Falso. Considere o seguinte contra-exemplo: v=(-1,1)^T e u=(1,1)^T. A soma dos vetores u+v=(0,2)^T resulta em um vetor que não pertence ao conjunto definido.
2. (x, y): x^2+y^2=0, x, y in R é um subespaço do R^2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se certos subconjuntos de R^2 são subespaços vetoriais. Para isso usamos o critério:
  1. O vetor zero deve pertencer ao conjunto.
  2. O conjunto deve ser fechado sob soma de vetores.
  3. O conjunto deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Considere W1 = (x,y)mid y = |x|,;xinR.
  1. Note que (1,1)in W1 e (-1,1)in W1.
  2. Sua soma é
(1,1) + (-1,1) = (0,2)
  1. Mas (0,2)notin W1, pois 2 neq |0| = 0.
    Logo W1 falha o fechamento sob soma e não é subespaço.

Passo 3

Considere W2 = (x,y)mid x^2 + y^2 = 0.
  1. Como x^2>=0 e y^2>=0, a única forma de x^2+y^2=0 é x=0 e y=0.
  2. Assim W2 = (0,0).
  3. O conjunto (0,0) é o subespaço trivial de R^2: contém o zero e qualquer soma ou múltiplo escalar de (0,0) continua (0,0).
    Portanto W2 é subespaço.

Resposta

  1. Falso.
  2. Verdadeiro.

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