Sejam boldsymbolu=(u1, ldots, un) e boldsymbolv=(v1, ldots, vn) vetores arbitrários de C^n. Verifique se lang<=u, vrang<=, definido em cada item abaixo, é um produto interno em C^n. Em caso negativo, enumere os axiomas que não são verificados. Nota: para vi in C,|vi|=raizvi vi.
lang<=u, vrang<==(sumi=1^n ui^2 vi^2)^12

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
lang<=u,vrang<= ;=;l(sumi=1^n ui^2,vi^2r)^tfrac12
define um produto interno em C^n. Em espaços complexos, os axiomas que devemos checar são:
  1. Conjugate symmetry: lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=.
  2. Linearity no primeiro argumento: lang<= alpha u+beta w,vrang<==alphalang<= u,vrang<=+betalang<= w,vrang<=.
  3. Positividade definida: lang<= u,urang<=>=0 com igualdade só se u=0.

Passo 2

Conjugate symmetry.
lang<= u,vrang<==raizsumi=1^n ui^2vi^2, lang<= v,urang<==raizsumi=1^n vi^2ui^2
Mas em geral
lang<= v,urang<= =raizsum vi^2ui^2 ;neq;raizsum ui^2vi^2 =lang<= u,vrang<=,
pois o conjugado da raiz não coincide com a raiz do conjugado (mesmo argumento dentro do sqrt).
Exemplo simples em n=1: u1=i, v1=1
lang<= u,vrang<==raizi^2cdot1^2=raiz-1=i
e
lang<= v,urang<==raiz1^2cdot i^2=raiz-1=-i.

Passo 3

Linearity no primeiro argumento.
Para escalar por alphainC temos
lang<= alpha u,vrang<= =raizsumi=1^n (alpha ui)^2,vi^2 =raizalpha^2sum ui^2vi^2 ;neq;alpharaizsum ui^2vi^2 =alphalang<= u,vrang<=
quando alpha não for real e não-negativo, pois raizalpha^2W não é alpharaiz W em geral.

Passo 4

Positividade definida.
lang<= u,urang<= =raizsumi=1^n ui^4
  1. Pode não ser real não-negativo: se u1=e^ipi/4 e os outros componentes zero,
    sum ui^4=e^ipi=-1 e lang<= u,urang<==raiz-1=i.
  2. Pode anular para vetor não-nulo: escolha por exemplo u=(1,e^ipi/4,0,dots,0),
    então u1^4+u2^4=1+(-1)=0, daí lang<= u,urang<==0 mas uneq0.

Resposta

Não é produto interno.
Falha em:
  • Conjugate symmetry,
  • Linearity no primeiro argumento,
  • Positividade definida.

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