Sejam e vetores arbitrários de . Verifique se , definido em cada item abaixo, é um produto interno em . Em caso negativo, enumere os axiomas que não são verificados. Nota: para . lang<=u, vrang<==|sumi=1^n ui vi|
Passo 1
O enunciado nos dá vetores u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) em C^n e define
lang<=u,vrang<= = l|sumi=1^n uivir|
Queremos verificar se isso satisfaz os três axiomas de produto interno em C^n:
positividade e definitude,
conjugado-simetria,
linearidade no primeiro argumento (adição e homogeneidade).
lang<= u+w,vrang<= = l|sumi(ui+wi)vir| = l|a+br| com a=sum uivi,,b=sum wivi,
e em geral lvert a+brvertneqlvert arvert+lvert brvert. Logo lang<= u+w,vrang<=neq lang<=u,vrang<=+lang<=w,vrang<=.
Portanto falha a linearidade no primeiro argumento.
Resposta
lang<=u,vrang<==l|sumi=1^nuivir|não é um produto interno em C^n.
Os axiomas que não são verificados são os da linearidade no primeiro argumento, ou seja, falham homogeneidade e aditividade.