Sejam boldsymbolu=(u1, ldots, un) e boldsymbolv=(v1, ldots, vn) vetores arbitrários de C^n. Verifique se lang<=u, vrang<=, definido em cada item abaixo, é um produto interno em C^n. Em caso negativo, enumere os axiomas que não são verificados. Nota: para vi in C,|vi|=raizvi vi.
lang<=u, vrang<==|sumi=1^n ui vi|

Passo 1

O enunciado nos dá vetores u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) em C^n e define
lang<=u,vrang<= = l|sumi=1^n uivir|
Queremos verificar se isso satisfaz os três axiomas de produto interno em C^n:
  1. positividade e definitude,
  2. conjugado-simetria,
  3. linearidade no primeiro argumento (adição e homogeneidade).

Passo 2

Verificando positividade e definitude:
lang<=u,urang<= = l|sumi=1^nui,uir| = l|sumi=1^n|ui|^2r| =sumi=1^n|ui|^2>=0
Além disso, sumi=1^n|ui|^2=0 se e somente se cada ui=0, ou seja, u=0. Logo esse axioma vale.

Passo 3

Verificando conjugado-simetria:
lang<=u,vrang<= = l|sumi=1^nuivir| = l|sumi=1^nviuir| = l|sumi=1^nviuir| = lang<=v,urang<=
Como lang<=u,vrang<= é real, fica lang<=u,vrang<==lang<=v,urang<=. Esse axioma também vale.

Passo 4

Verificando linearidade no primeiro argumento: para alphainC e vetores u,w,v:
– homogeneidade:
lang<= alphau,vrang<= = l|sumialpha,ui,vir| = |alpha|;l|sumiuivir| = |alpha|,lang<=u,vrang<= neq alpha,lang<=u,vrang<= (quando alphanotinR>=0)
– aditividade:
lang<= u+w,vrang<= = l|sumi(ui+wi)vir| = l|a+br| com a=sum uivi,,b=sum wivi,
e em geral lvert a+brvertneqlvert arvert+lvert brvert. Logo
lang<= u+w,vrang<=neq lang<=u,vrang<=+lang<=w,vrang<=.
Portanto falha a linearidade no primeiro argumento.

Resposta

lang<=u,vrang<==l|sumi=1^nuivir| não é um produto interno em C^n.
Os axiomas que não são verificados são os da linearidade no primeiro argumento, ou seja, falham homogeneidade e aditividade.

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