Questão 3 Uma fatoração para a matriz
de posto incompleto é
.
Responda:
- Apresente valores admissíveis para
x, y, z, a, b, c .
- Apresente uma matriz
A que atenda ao enunciado da questão.
- Dada a escolha acima, escreva
A^T como uma soma de
r=posto(A) matrizes de posto 1 .
- Caracterize
C(A), C(A^T), N(A), N(A^T) , definindo claramente os elementos da base e suas dimensões.
Responda:
Passo 1
O enunciado dá a fatoração
com
e pede que
tenha posto incompleto (
). Para isso basta garantir
. Como
, vamos forçar ao menos um desses determinantes a zero.
Passo 2
Calculamos
Para ter
det(A)=0 podemos, por exemplo, escolher
e tomar
Q invertível (e portanto
det(Q)neq0 ).
Passo 3
Tomemos o caso mais simples
de modo que
Multiplicando, obtemos
que tem
det(A)=0 e posto
r=2 .
Passo 4
Queremos escrever
A^T como soma de
r=2 matrizes de posto
1 . Note que as colunas de
A são
;c1=(1,2,3)^T,;;c2=(1,3,3)^T,;;c3=(3,7,9)^T
e que
e que
Logo as colunas de
A^T satisfazem
onde
e1=(1,0,0)^T ,
e2=(0,1,0)^T ,
e3=(0,0,1)^T . Assim definimos as duas matrizes de posto
1 :
e então
Passo 5
Caracterizamos agora os espaços coluna e nulo de [A) e de
.
C(A): colunas de
geram
C(
): linhas de
geram
N(A): soluções de
. Resolvendo
acha-se ((x,y,z)=t(-2,-1,1)].
N(
acha-se ((u,v,w)=s(-3,0,1)].
Resposta
duas matrizes de posto
1 .
4 .