Questão 3 Uma fatoração para a matriz A de posto incompleto é A=[ccc1 & 0 & x 2 & 1 & y 3 & 0 & z][ccc1 & 1 & 2 0 & 1 & 3 a & b & c].
Responda:
  1. Apresente valores admissíveis para x, y, z, a, b, c.
  2. Apresente uma matriz A que atenda ao enunciado da questão.
  3. Dada a escolha acima, escreva A^T como uma soma de r=posto(A) matrizes de posto 1 .
  4. Caracterize C(A), C(A^T), N(A), N(A^T), definindo claramente os elementos da base e suas dimensões.

Passo 1

O enunciado dá a fatoração
com
e pede que tenha posto incompleto ( ). Para isso basta garantir . Como , vamos forçar ao menos um desses determinantes a zero.

Passo 2

Calculamos
det(P) =1cdotl(1cdot z - ycdot 0r) -0cdotl(2cdot z-ycdot3r) +xcdotl(2cdot0-1cdot3r) = z -3x,
det(Q) =1cdot(c-3b)-1cdot(0cdot c-3a)+2cdot(0cdot b-1cdot a) =(c-3b)+3a-2a=c +a -3b
Para ter det(A)=0 podemos, por exemplo, escolher
z-3x=0 implies z=3x,
e tomar Q invertível (e portanto det(Q)neq0).

Passo 3

Tomemos o caso mais simples
x=1, y=0, z=3,
a=0, b=0, c=1,
de modo que
P = 1&0&12&1&03&0&3, Q = 1&1&20&1&30&0&1
Multiplicando, obtemos
A = P,Q = 1&1&32&3&73&3&9,
que tem det(A)=0 e posto r=2.

Passo 4

Queremos escrever A^T como soma de r=2 matrizes de posto 1. Note que as colunas de A são
;c1=(1,2,3)^T,;;c2=(1,3,3)^T,;;c3=(3,7,9)^T
e que
c3=2,c1+1,c2
Logo as colunas de A^T satisfazem
A^T=l[c1;c2;c3r] = c1,l(e1^T+2,e3^Tr) + c2,l(e2^T+1,e3^Tr),
onde e1=(1,0,0)^T, e2=(0,1,0)^T, e3=(0,0,1)^T. Assim definimos as duas matrizes de posto 1:
M1=c1,(1,0,2) =123(1,0,2) =1&0&22&0&43&0&6,
M2=c2,(0,1,1) =133(0,1,1) =0&1&10&3&30&3&3,
e então
A^T=M1+M2

Passo 5

Caracterizamos agora os espaços coluna e nulo de [A) e de .
C(A): colunas de geram
C( ): linhas de geram
N(A): soluções de . Resolvendo
acha-se ((x,y,z)=t(-2,-1,1)].
N(
acha-se ((u,v,w)=s(-3,0,1)].

Resposta

1. x=1,;y=0,;z=3,;a=0,;b=0,;c=1 2.
A=1&1&32&3&73&3&9
3.
A^T =1&0&22&0&43&0&6 +0&1&10&3&30&3&3,
duas matrizes de posto 1.
4.
C(A)=span(1,2,3)^T,(1,3,3)^T,; dim=2; C(A^T)=span(1,1,3),(2,3,7),;dim=2;
N(A)=span(-2,-1,1),;dim=1; N(A^T)=span(-3,0,1),;dim=1

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