Questão 01: Seja A_{3 \times 2} uma matriz tal que \left[a_{i j}\right]=\left\{\begin{array}{ll}i-1 & \text { se } i<j \\\ j & \text { se } i=j, \\\ j-1 & \text { se } i>j\end{array}\right. encontre:
a) A^{t}
b) \operatorname{tr}(A)

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A\) de tamanho \(3\times2\) cujos elementos são \[a_{ij} = \begin{cases} i-1, & \text{se } i<j,\\\ j, & \text{se } i=j,\\\ j-1, & \text{se } i>j. \end{cases}
Pede-se (a) a transposta A^t\] e (b) a traça \(\tr(A). Para isso, primeiro calculamos explicitamente cada a_{ij}, depois formamos A, obtemos A^t e por fim somamos os elementos da diagonal principal para a traça.

Passo 2

Vamos montar A linha a linha, lembrando que tem 3 linhas e 2 colunas.
Para i=1:
  • j=1\colon i=j\Rightarrow a_{11}=j=1.
  • j=2\colon i<j\Rightarrow a_{12}=i-1=0.
    Para i=2:
  • j=1\colon i>j\Rightarrow a_{21}=j-1=0.
  • j=2\colon i=j\Rightarrow a_{22}=j=2.
    Para i=3:
  • j=1\colon i>j\Rightarrow a_{31}=j-1=0.
  • j=2\colon i>j\Rightarrow a_{32}=j-1=1.
    Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 2\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

A transposta A^t é obtida trocando linhas por colunas em A. Assim, A era 3\times2 e A^t será 2\times3:
A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

A traça de uma matriz retangular costuma definir-se como a soma dos elementos a_{ii} para i=1,\dots,\min(m,n). Aqui \min(3,2)=2, então
\tr(A) = a_{11} + a_{22} = 1 + 2 = 3.

Resposta

a) \displaystyle A^t = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0 & 2 & 1\end{pmatrix}
b) \displaystyle \tr(A)=3]

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