Questão 02: Sejam f, g: \mathbb{R}_{+}^{*} \longrightarrow \mathbb{R} definidas por: f(x)=\frac{5-\log x}{4} e g(x)=\frac{3-\log x}{4}.
Se a matriz A=\left(a_{i j}\right)_{3 X 3} é tal que a_{i j}=f(i)-g(j); para i \in\{1,2,3\} e j \in\{1,2,3\}, calcule \operatorname{tr}(A).

Passo 1

O enunciado define duas funções em \mathbb{R}_{+}^{*}:
f(x)=\frac{5-\log x}{4}, \quad g(x)=\frac{3-\log x}{4},
e a matriz A=(a_{ij})_{3\times3} com
a_{ij}=f(i)-g(j),
para i,j\in\{1,2,3\}. O objetivo é calcular \operatorname{tr}(A). Vamos usar a propriedade de que a traça de uma matriz é a soma dos seus elementos na diagonal principal.

Passo 2

Pela definição de traça,
\operatorname{tr}(A) =\sum_{i=1}^{3}a_{ii} =\sum_{i=1}^{3}\bigl(f(i)-g(i)\bigr) =\sum_{i=1}^{3}f(i)\;-\;\sum_{i=1}^{3}g(i).

Passo 3

Vamos calcular separadamente cada soma. Primeiro,
\sum_{i=1}^{3}f(i) =\sum_{i=1}^{3}\frac{5-\log i}{4} =\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{3}\bigl(5-\log i\bigr) =\frac{1}{4}\Bigl(3\cdot5-\sum_{i=1}^{3}\log i\Bigr) =\frac{15-\sum_{i=1}^{3}\log i}{4}.

Passo 4

De modo análogo,
\sum_{i=1}^{3}g(i) =\sum_{i=1}^{3}\frac{3-\log i}{4} =\frac{1}{4}\Bigl(3\cdot3-\sum_{i=1}^{3}\log i\Bigr) =\frac{9-\sum_{i=1}^{3}\log i}{4}.

Passo 5

Substituindo em \operatorname{tr}(A):
\operatorname{tr}(A) =\frac{15-\sum_{i=1}^{3}\log i}{4} -\frac{9-\sum_{i=1}^{3}\log i}{4} =\frac{15-9}{4} =\frac{6}{4} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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