QUESTÃO 01. Um sistema contendo 2 mols de um gás ideal a uma temperatura inicial de 100^{\circ} \mathrm{C} sofre um processo isobárico, no qual a pressão do gás é mantida constante em 3,0 \mathrm{~atm}. Durante esse processo, a capacidade térmica molar a pressão constante (Cp) do gás varia com a temperatura de acordo com a relação \mathrm{Cv}=2+0,1 \mathrm{~T}, onde T é a temperatura em Kelvin. O gás é aquecido a uma taxa constante de 5,0 \mathrm{~K} / \mathrm{min} por 10 minutos. D J mor K
Calcule:
a) A variação da energia interna do sistema durante o processo.
b) A variação da entalpia do sistema durante o processo.
c) A quantidade de calor trocada com o ambiente durante o processo.
d) O trabalho realizado pelo sistema durante o processo.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dados do sistema:
    • número de mols: n=2.
    • temperatura inicial: 100^\circ\mathrm{C}.
    • processo: isobárico (pressão constante) com P=3,0\\ \mathrm{atm}.
    • taxa de aquecimento: 5,0\\ \mathrm{K/min} durante 10 minutos.
    • relação fornecida no enunciado: C_v = 2 + 0,1\,T (a expressão dada pelo enunciado).
  • Perguntas:
    a) Calcular a variação da energia interna do sistema, \Delta U.
    b) Calcular a variação da entalpia do sistema, \Delta H.
    c) Calcular a quantidade de calor trocada com o ambiente, Q.
    d) Calcular o trabalho realizado pelo sistema, W.

Passo 2

Observação sobre a fórmula fornecida (importante para não errar): o enunciado diz que a capacidade térmica molar à pressão constante (C_p) varia com T, mas em seguida dá a relação escrita como C_v=2+0,1\,T. Há ambiguidade. Vou adotar a interpretação mais coerente para um gás ideal: a expressão dada é de fato para C_v(T), isto é
C_v(T)=2+0,1\,T,
com unidades assumidas como \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}} (isso é coerente porque valores numéricos estarão na casa de dezenas de \mathrm{J/(mol\;K)} para temperaturas da ordem de centenas de kelvin). Para um gás ideal vale a relação
C_p(T)=C_v(T)+R,
onde R é a constante universal dos gases. Vou usar R=8,314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 3

Converter temperatura inicial para Kelvin e obter a variação de temperatura:
T_i = 100^\circ\mathrm{C}=100+273{,}15=373{,}15\\ \mathrm{K}.
Aquecendo a 5{,}0\\ \mathrm{K/min} por 10\\ \mathrm{min} temos
\Delta T = 5{,}0\times10 = 50\\ \mathrm{K}.
Portanto a temperatura final é
T_f = T_i+\Delta T = 373{,}15+50 = 423{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Lembrando o que é a energia interna de um gás ideal: para um gás ideal mono-componente com C_v(T) conhecido, a variação da energia interna quando a temperatura muda de T_i para T_f é
\Delta U = n\int_{T_i}^{T_f} C_v(T)\,dT.
Aqui n é o número de mols e C_v(T) é a capacidade térmica molar a volume constante (aqui dependente de T). Substituindo C_v(T)=2+0,1\,T temos (faço a integral explicitamente para você poder reproduzir na prova):
\Delta U = n\int_{T_i}^{T_f} \bigl(2+0,1\,T\bigr)\,dT = n\left[2T + 0,05\,T^2\right]_{T_i}^{T_f}.

Passo 5

Calcular numericamente \Delta U. Primeiro calcule a diferença de quadrados para simplificar:
T_f^2-T_i^2=(T_f-T_i)(T_f+T_i)=50\cdot(423{,}15+373{,}15)=50\cdot796{,}30=39\,815{,}0.
Agora avalie a expressão dentro dos colchetes:
\bigl(2(T_f-T_i)\bigr)+0{,}05\bigl(T_f^2-T_i^2\bigr) =2\cdot50 + 0{,}05\cdot39\,815{,}0 =100 + 1\,990{,}75 = 2\,090{,}75.
Multiplicando por n=2:
\Delta U = 2\cdot2\,090{,}75 = 4\,181{,}50\\ \mathrm{J}.
Arredondando com 3 algarismos significativos: \Delta U \approx 4,18\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Entalpia e sua relação com C_p. Para qualquer substância a entalpia é H=U+PV. Para um gás ideal PV=nRT, logo
H = U + nRT.
Portanto a variação de entalpia entre T_i e T_f é
\Delta H = \Delta U + nR\Delta T.
Isto corresponde também a integrar C_p(T):
\Delta H = n\int_{T_i}^{T_f} C_p(T)\,dT = n\int_{T_i}^{T_f}\bigl(C_v(T)+R\bigr)\,dT = \Delta U + nR\Delta T.

Passo 7

Calcule numericamente \Delta H. Usando nR\Delta T:
nR\Delta T = 2\cdot 8{,}314\cdot50 = 2\cdot 415{,}7 = 831{,}4\\ \mathrm{J}.
Portanto
\Delta H = \Delta U + nR\Delta T = 4\,181{,}50 + 831{,}4 = 5\,012{,}90\\ \mathrm{J}.
Arredondando: \Delta H \approx 5,01\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Calcular o calor trocado Q. Em um processo isobárico (pressão constante), o calor trocado com o sistema está relacionado à variação de entalpia:
Q_p = \Delta H.
Logo
Q = 5\,012{,}90\\ \mathrm{J}\approx 5,01\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Calcular o trabalho realizado pelo sistema W. Para um processo à pressão constante:
W = \int_{V_i}^{V_f} P\,dV = P\,(V_f-V_i).
Usando a equação dos gases ideais, P\Delta V = nR\Delta T. Assim, de forma mais direta,
W = nR\Delta T.
Já calculámos nR\Delta T no Passo 7: W = 831{,}4\\ \mathrm{J}. Arredondando: W\approx 8,31\times10^{2}\\ \mathrm{J}.
Se quiser confirmar convertendo pressão para pascal e calculando \Delta V:
P = 3,0\\ \mathrm{atm}=3,0\cdot1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}=3{,}039\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
\Delta V = \frac{W}{P}=\frac{831{,}4}{3{,}039\times10^{5}}\approx 2,74\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3}=2{,}74\\ \mathrm{L},
verificando consistência ( W=P\Delta V dá o mesmo valor).

Passo 10

Resumo rápido e sinalização: todas as quantidades foram obtidas assumindo que a expressão dada é para C_v(T) e que as capacidades estão em \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}. A convenção de sinais usada é a usual: W>0 significa trabalho realizado pelo sistema (expansão), Q>0 calor absorvido pelo sistema. Boa! Você está quase lá — revise os passos das integrais e a relação C_p=C_v+R que costuma cair em prova.

Resposta

\Delta U = 4,18\times10^{3}\\ \mathrm{J}
\Delta H = 5,01\times10^{3}\\ \mathrm{J}
Q = 5,01\times10^{3}\\ \mathrm{J}
W = 8,31\times10^{2}\\ \mathrm{J}

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